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计算力学的目标是建立一个模型，希望以一定的准确度的方式重建和预测观察到的随机序列。然而，序列的随机性使我们无法获得完美的重建，因此，我们需要一个粗粒化的映射来捕获随机序列中的有序结构。这个粗粒化映射可以用一个划分函数<math>\eta: \overleftarrow{S}→\mathcal{R}</math>来刻画，该函数可以将<math>\overleftarrow{S}</math>划分为相互排斥的若干子集（所有的互斥子集形成全集），形成的集合记为<math>\mathcal{R}</math>。

计算力学的目标是建立一个模型，希望以一定的准确度的方式重建和预测观察到的随机序列。然而，序列的随机性使我们无法获得完美的重建，因此，我们需要一个粗粒化的映射来捕获随机序列中的有序结构。这个粗粒化映射可以用一个划分函数<math>\eta: \overleftarrow{S}→\mathcal{R}</math>来刻画，该函数可以将<math>\overleftarrow{S}</math>划分为相互排斥的若干子集（所有的互斥子集形成全集），形成的集合记为<math>\mathcal{R}</math>。

计算力学将任意的子集<math>R \in \mathcal{R}</math>看作是一个宏观状态。对于一组宏观状态集合<math>\mathcal{R}</math>，计算力学使用香农熵定义其统计复杂性指标<math>C_\mu</math>来衡量状态的复杂性，其中<math>C_\mu(\mathcal{R})\triangleq -\sum_{\rho\in \mathcal{R}} P(\mathcal{R}=\rho)\log_2 P(\mathcal{R}=\rho)</math>。可以证明，当使用一组状态构建预测模型时，统计复杂性就近似等价于预测模型的大小。

计算力学将任意的子集<math>R \in \mathcal{R}</math>看作是一个宏观状态。对于一组宏观状态集合<math>\mathcal{R}</math>，计算力学使用香农熵定义其统计复杂性指标<math>C_\mu</math>来衡量状态的复杂性，其中:

此外，为了使宏观状态集在预测性和简约性之间取得最佳平衡，计算力学定义了[[因果等价]]的概念，如果<math>P\left ( \overrightarrow{s}|\overleftarrow{s}\right )=P\left ( \overrightarrow{s}|{\overleftarrow{s}}'\right )</math>，则<math>\overleftarrow{s}</math>和<math>{\overleftarrow{s}}'</math>是因果等价的，这种等价关系可以将所有的历史过程划分为等价类，并将它们定义为[[因果态]]。历史过程<math>\overleftarrow{s}</math>的所有因果态可以被定义为<math>\epsilon \left ( \overleftarrow{s} \right )</math>，<math>\epsilon: \overleftarrow{\mathcal{S}}\rightarrow 2^{\overleftarrow{\mathcal{S}}}</math>是一个函数，将历史过程<math>\overleftarrow{s}</math>映射成因果态<math>\epsilon(\overleftarrow{s})\in 2^{\overleftarrow{\mathcal{S}}}</math>。将两个[[因果态]]<math>S_i</math>和<math>S_j</math>之间的因果转移概率记为<math>T_{ij}^{\left ( s \right )}</math>，一个随机过程的<math>\epsilon-machine</math>被定义为有序对<math>\left \{ \epsilon,T \right \}</math>，是一种模式发现机器，学习<math>\epsilon</math>和<math>T</math>函数，其中<math>\epsilon</math>是因果态函数，可以将状态<math>s</math>映射到<math>\epsilon(s)</math>， <math>T</math>是通过<math>\epsilon</math>定义的状态的转移矩阵的集合。通过证明<math>\epsilon-machine</math>得到的因果态具有最大可预测性、最小统计复杂度以及最小随机性这三个重要特性验证了其在某种意义上是最优的。此外，作者引入了一种分层机器重构算法可以从观测数据中计算因果态和<math>\epsilon-machine</math>。尽管该算法可能并不适用于所有场景，但作者以混沌动力学、隐马尔可夫模型和元胞自动机为例，给出了数值计算结果和相应的机器重构路径<ref name="The_calculi_of_emergence">{{cite journal|author1=Crutchfield, J.P|title=The calculi of emergence: computation, dynamics and induction|journal=Physica D: Nonlinear Phenomena|year=1994|volume=75|issue=1-3|page=11-54|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0167278994902739}}</ref>。虽然该方法没有给出涌现的明确定义和定量理论，但是随后一些研究人员进一步推进了计算力学的发展，Shalizi等<ref name="The_calculi_of_emergence"></ref>在自己的工作中讨论计算力学与涌现的关系，同时作者解释说，涌现可以被理解为一个动力学过程，在这个过程中，一个模式获得了能适应不同环境的能力。

 

 

此外，为了使宏观状态集在预测性和简约性之间取得最佳平衡，计算力学定义了[[因果等价]]的概念，如果<math>P\left ( \overrightarrow{s}|\overleftarrow{s}\right )=P\left ( \overrightarrow{s}|{\overleftarrow{s}}'\right )</math>，则<math>\overleftarrow{s}</math>和<math>{\overleftarrow{s}}'</math>是因果等价的，这种等价关系可以将所有的历史过程划分为等价类，并将它们定义为[[因果态]]。历史过程<math>\overleftarrow{s}</math>的所有因果态可以被一个映射<math>\epsilon \left ( \overleftarrow{s} \right )</math>，这里<math>\epsilon: \overleftarrow{\mathcal{S}}\rightarrow 2^{\overleftarrow{\mathcal{S}}}</math>是一个将历史过程<math>\overleftarrow{s}</math>映射成因果态<math>\epsilon(\overleftarrow{s})\in 2^{\overleftarrow{\mathcal{S}}}</math>的函数。

 

进一步，我们可以将两个[[因果态]]<math>S_i</math>和<math>S_j</math>之间的因果转移概率记为<math>T_{ij}^{\left ( s \right )}</math>，它类似于一个粗粒化后的宏观动力学。而一个随机过程的<math>\epsilon</math>-machine被定义为有序对<math>\left \{ \epsilon,T \right \}</math>，这是一种模式发现的机器，可以通过学习<math>\epsilon</math>和<math>T</math>函数来实现预测。这相当于定义了所谓的涌现因果的识别问题，这里的<math>\epsilon</math>-machine就是一个尝试发现数据中的涌现因果的机器。

 

计算力学可以证明，通过<math>\epsilon</math>-machine得到的因果态具有'''最大可预测性'''、'''最小统计复杂度'''以及'''最小随机性'''这三个重要特性，并验证了其在某种意义上是最优的。此外，作者引入了一种分层机器重构算法，可以从观测数据中计算因果态和<math>\epsilon</math>-machine。尽管该算法可能并不适用于所有场景，但作者以混沌动力学、隐马尔可夫模型和元胞自动机为例，给出了数值计算结果和相应的机器重构路径<ref name="The_calculi_of_emergence">{{cite journal|author1=Crutchfield, J.P|title=The calculi of emergence: computation, dynamics and induction|journal=Physica D: Nonlinear Phenomena|year=1994|volume=75|issue=1-3|page=11-54|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0167278994902739}}</ref>。

 

虽然原始的计算力学没有给出涌现的明确定义和定量理论，但是随后一些研究人员进一步推进了该理论的发展，Shalizi等<ref name="The_calculi_of_emergence"></ref>在自己的工作中讨论了计算力学与涌现的关系。同时作者解释说，涌现可以被理解为一个动力学过程，在这个过程中，一个模式获得了能适应不同环境的能力。

 

====G-emergence====

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