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因果态的形式化定义可以按照如下方式定义：

因果态的形式化定义可以按照如下方式定义：

将测量的数据流<math>s=⋯s_{-2} s_{-1} s_0 s_1 s_2…</math>分为两个部分，按照时间<math>t</math>分为前向序列<math>s_t^→=s_t s_{t+1} s_{t+2} s_{t+3}…</math>和后向序列<math>s_t^←=⋯s_{t-3} s_{t-2} s_{t-1} s_t</math>，可以得到一个单侧前向序列和一个单侧后向序列，它们分别表示关于未来和过去的信息。

将测量的数据流<math>s=⋯s_{-2} s_{-1} s_0 s_1 s_2…</math>分为两个部分，按照时间<math>t</math>分为前向序列<math>s_t^→=s_t s_{t+1} s_{t+2} s_{t+3}…</math>和后向序列<math>s_t^←=⋯s_{t-3} s_{t-2} s_{t-1} s_t</math>，可以得到一个单侧前向序列和一个单侧后向序列，它们分别表示<math>s_t</math>关于未来和过去的信息。

属于相同因果态的两个状态<math>t </math> 和<math>t^{'} </math>，他们之间的关系可以表示为：<math>t∼t^{'} </math>，“<math>∼ </math> ” 表示由等效未来形态所引起的等价关系。那么，就会有如下关系：

属于相同因果态的两个状态<math>t </math> 和<math>t^{'} </math>，他们之间的关系可以表示为：<math>t∼t^{'} </math>，“<math>∼ </math> ” 表示由等效未来形态所引起的等价关系。那么，就会有如下关系：

   <math>t∼t^{'}  </math>等价于<math> Pr(s^→ |s_t^← )=Pr(s^→ |s_{t^{'}}^← ) </math>  

   <math>t∼t^{'}  </math>等价于<math> Pr(s^→ |s_t^← )=Pr(s^→ |s_{t^{'}}^← ) </math>  

式中序列<math>t </math>和<math>t^{'} </math>通常是不同的，上式可以理解为，如果<math>t∼t^{'} </math>，就算在不同时刻测量到了不同状态，智能体对未来状态的预测结果也会是相同的。其次，当<math>s_t^← </math>和<math>s_{t^{'}}^← </math>作为特定符号序列考虑时，<math>t </math>和<math>t^{'} </math>可以在许多其他时间点发生。

<math> Pr(s^→ |s_t^← ) </math>和<math> Pr(s^→ |s_{t^{'}}^← ) </math>为<math> s^→  </math>的条件概率分布，式中序列<math>t </math>和<math>t^{'} </math>通常是不同的，如果生成数据流<math>s </math>的过程是遍历的，上式可以理解为，如果<math>t∼t^{'} </math>，就算在不同时刻测量到了不同状态，智能体对未来状态的预测结果也会是相同的。其次，当<math>s_t^← </math>和<math>s_{t^{'}}^← </math>作为特定符号序列考虑时，<math>t </math>和<math>t^{'} </math>可以在许多其他时间点发生。

这为因果态集合'''<math>G </math>'''提供了正式的定义，对于给定的状态''<math>S </math>'' ，可以从中观察到的未来序列的集合'''<math>{g_S^→:S∈G} </math>''' 被称为它的“未来形态”（future morph）。导致状态''<math>S </math>''发生的序列集合被称为它的“过去形态”（past morph）。

这为因果态集合'''<math>G </math>'''提供了正式的定义，对于给定的状态''<math>S </math>'' ，可以从中观察到的未来序列的集合'''<math>{g_S^→:S∈G} </math>''' 被称为它的“未来形态”（future morph）。导致状态''<math>S </math>''发生的序列集合被称为它的“过去形态”（past morph）。

===因果态的主要性质===

===因果态的主要性质===

 

 

 

（2）因果态在所有有效态中具有最高预测性

（2）因果态在所有有效态中具有最高预测性