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→因果态的主要性质
===因果态的主要性质===
===因果态的主要性质===
因果态是一种特殊的划分方法，它的划分函数记作<math>\epsilon</math>，公式为<math> \epsilon{:}\overleftarrow{S}\mapsto2^{\overset{\leftarrow}{S}}</math>，其中<math> 2^{\overset{\leftarrow}{S}}</math>是<math> \overleftarrow{S}</math>的幂集。根据因果态的定义，则存在如下关系：<math>\epsilon(\stackrel{\leftarrow}{s})\equiv\{\stackrel{\leftarrow}{s}^{\prime}|\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s}\mid\stackrel{\leftarrow}{S}=\stackrel{\leftarrow}{s})=\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s}\mid\stackrel{\leftarrow}{S}=\stackrel{\leftarrow}{s}^{\prime})，\mathrm{for~all~}\overrightarrow{s}\in\overrightarrow{S},\\stackrel{\leftarrow}{s}^{\prime}\in\stackrel{\leftarrow}{S}\} </math>，其中<math>\mathcal{S} </math>为因果态的集合，<math>\stackrel{\leftarrow}{s} </math>为历史序列的随机变量，<math>\mathcal{S} </math>是<math>\mathcal{R} </math>的一种最优形式，因为<math>\mathcal{S} </math>的如下性质。
因果态是一种特殊的划分方法，它的划分函数记作<math>\epsilon</math>，公式为<math> \epsilon{:}\overleftarrow{S}\mapsto2^{\overset{\leftarrow}{S}}</math>，其中<math> 2^{\overset{\leftarrow}{S}}</math>是<math> \overleftarrow{S}</math>的幂集。根据因果态的定义，则存在如下关系：<math>\epsilon(\stackrel{\leftarrow}{s})\equiv\{\stackrel{\leftarrow}{s}^{\prime}|\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s}\mid\stackrel{\leftarrow}{S}=\stackrel{\leftarrow}{s})=\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s}\mid\stackrel{\leftarrow}{S}=\stackrel{\leftarrow}{s}^{\prime})，\mathrm{for~all~}\overrightarrow{s}\in\overrightarrow{S},\stackrel{\leftarrow}{s}^{\prime}\in\stackrel{\leftarrow}{S}\} </math>，其中<math>\mathcal{S} </math>为因果态的集合，<math>\stackrel{\leftarrow}{s} </math>为历史序列的随机变量，<math>\mathcal{S} </math>是<math>\mathcal{R} </math>的一种最优形式，因为<math>\mathcal{S} </math>的如下性质。
（1）最大预测性：因果态集合<math>\mathcal{S} </math>在有效态集合<math>\mathcal{R} </math>的所有类型中，它的预测能力最强，用公式表示为<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}]\geq H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>，<math>\stackrel{\rightarrow}{S}^L </math>为<math>L </math>个长度的未来序列集合，<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}] </math>和<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>是<math>\stackrel{\rightarrow}{S}^L </math>的条件熵。它的证明过程如下：
（1）最大预测性：因果态集合<math>\mathcal{S} </math>在有效态集合<math>\mathcal{R} </math>的所有类型中，它的预测能力最强，用公式表示为<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}]\geq H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>，<math>\stackrel{\rightarrow}{S}^L </math>为<math>L </math>个长度的未来序列集合，<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}] </math>和<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>是<math>\stackrel{\rightarrow}{S}^L </math>的条件熵。它的证明过程如下：
<math>\epsilon(\stackrel{\leftarrow}{s})\equiv\{\stackrel{\leftarrow}{s}^{\prime}|\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s}\mid\stackrel{\leftarrow}{S}=\stackrel{\leftarrow}{s})=\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s}\mid\stackrel{\leftarrow}{S}=\stackrel{\leftarrow}{s}^{\prime}) </math>
<math>\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s} |\mathcal{S}=\epsilon(\stackrel{\leftarrow}{s}))=\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s}\mid\stackrel{\leftarrow}{S}=\stackrel{\leftarrow}{s}) </math>
<math>\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s} |\mathcal{S}=\epsilon(\stackrel{\leftarrow}{s}))=\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s}\mid\stackrel{\leftarrow}{S}=\stackrel{\leftarrow}{s}) </math>