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第340行：
第340行： − ==测试效果== − 在下列图所示的所有示例中测试了此粗粒化方法。首先，对于根据下图(d) 和 (g) 所示的相同布尔网络模型生成的两个 TPM，其粗 TPM 分别如图(f)和(i)所示。从TPM和投影矩阵<math> − \Phi</math>中可以读出宏观布尔网络模型（图(c)）。值得注意的是，粗TPM中的<math> − \Gamma − </math>与原始模型中的<math> − \Gamma − </math>几乎完全相同，这说明我们的方法在这种情况下是<math> − \Gamma − </math>保守的。其次，如图5(e) 所示，用相同的粗粒度方法可以得到原始TPM（图5(a)）的缩小TPM，投影矩阵<math> − \Phi</math>如 (f) 所示。如图5（b）所示，粗粒度布尔网络可以从简化的TPM和投影矩阵中读出。在本例中，虽然由于粗粒化过程中的信息损失，<math> − \Gamma − </math>被大大缩小了（从 <math> − \Gamma − =20.39</math>缩小到<math> − \Gamma=8.0 − </math>），但归一化的近似动态可逆性却增加了（从 <math> − \gamma − =0.32</math>增加到<math> − \gamma − =1.0</math>）。同样的粗粒化方法也适用于SBM生成的复杂网络。图4(l)显示了从原始网络（图4(j)）衍生出的 5 节点精简网络。图4(l)显示了从原始网络（图4(j)）得到的具有 5 个节点的缩小网络（图4(l)）。并观察到具有相关性的<math> − \Gamma − </math>大幅下降和<math> − \gamma − </math>大幅上升。这表明在粗粒化过程中损失了大量信息，同时可以得到一个相对更有效的小型网络模型，具有更强的归一化近似动态可逆性。 − 图(a)-(i)分别显示了从具有相同节点机制的相同布尔网络模型生成的用于因果涌现和模糊因果涌现的TPM的两个示例。图(d)中的TPM直接源自图(a)和(b)中的布尔网络及其节点机制。它们的奇异值谱分别如图(e)和(h)所示。(d)中的第一个例子只有4个非零奇异值(图(e))，因此，出现明显的因果涌现，且因果涌现的程度为<math>+ + − + + + 第378行：
第357行： − + − − 下图(a)-(f)显示了另一个更复杂的布尔网络模型的明显因果涌现例子，该模型来自参考文献<ref name="Hoel2013" />，其中具有相同节点机制的6个节点可归类为3个超级节点，以显示因果涌现。原始布尔网络模型的相应TPM如图(c)所示。奇异值频谱如图(d）所示，其中有8个非零值。这个清晰因果涌现的程度为<math>
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5) 利用<math>
5) 利用<math>
\Phi</math>和P得到新的TPM，使总静态通量保持不变。
\Phi</math>和P得到新的TPM，使总静态通量保持不变。
=测试量化因果涌现的效果=
=测试量化因果涌现的效果=
==布尔网络==
==布尔网络==
下面基于Hoel等人的论文<ref name="Hoel2013">Hoel, E.P., Albantakis, L., Tononi, G.: Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 110(49), 19790–19795 (2013) https://doi.org/10.1073/ pnas.1314922110</ref><ref name="Hoel2017">Hoel, E.P.: When the map is better than the territory. Entropy 19(5) (2017) https://doi.org/10.3390/e19050188</ref>中提出的几种布尔网络马尔可夫动力学来测试清晰和模糊因果涌现的定义。
下面基于Hoel等人的论文<ref name="Hoel2013">Hoel, E.P., Albantakis, L., Tononi, G.: Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 110(49), 19790–19795 (2013) https://doi.org/10.1073/ pnas.1314922110</ref><ref name="Hoel2017">Hoel, E.P.: When the map is better than the territory. Entropy 19(5) (2017) https://doi.org/10.3390/e19050188</ref>中提出的几种布尔网络马尔可夫动力学来测试清晰和模糊因果涌现的定义。
下图(a)-(i)分别显示了从具有相同节点机制的相同布尔网络模型生成的用于因果涌现和模糊因果涌现的TPM的两个示例。图(d)中的TPM直接源自图(a)和(b)中的布尔网络及其节点机制。它们的奇异值谱分别如图(e)和(h)所示。(d)中的第一个例子只有4个非零奇异值(图(e))，因此，出现明显的因果涌现，且因果涌现的程度为<math>
\Delta\Gamma=0.75
\Delta\Gamma=0.75
</math>。 因果涌现的判断与参考文献<ref name="Hoel2013" />相同。[[文件:截屏2024-08-27 14.58.17.png|缩略图|740x740px|图4|替代=|无]]图(g)中的TPM可以显示出模糊的因果涌现，这是在(d)中的TPM上添加强度为（std = 0.03）的随机高斯噪声后得到的。因此，奇异频谱如图(h) 所示。我们选择<math>
</math>。 因果涌现的判断与参考文献<ref name="Hoel2013" />相同。
图(g)中的TPM可以显示出模糊的因果涌现，这是在(d)中的TPM上添加强度为（std = 0.03）的随机高斯噪声后得到的。因此，奇异频谱如图(h) 所示。我们选择<math>
\epsilon=0.2
\epsilon=0.2
</math>作为阈值，这样就只剩下4个大的奇异值。因果涌现程度为<math>
</math>作为阈值，这样就只剩下4个大的奇异值。因果涌现程度为<math>
</math>值是根据图(h)中的奇异值频谱选择的，在图(h)中可以观察到指数为3和<math>
</math>值是根据图(h)中的奇异值频谱选择的，在图(h)中可以观察到指数为3和<math>
\epsilon=0.2
\epsilon=0.2
</math>时有一个明显的分界点。
</math>时有一个明显的分界点。[[文件:截屏2024-08-27 14.58.17.png|缩略图|740x740px|图4|替代=|无]]下图显示了另一个更复杂的布尔网络模型的明显因果涌现例子，该模型来自参考文献<ref name="Hoel2013" />，其中具有相同节点机制的6个节点可归类为3个超级节点，以显示因果涌现。原始布尔网络模型的相应TPM如图(c)所示。奇异值频谱如图(d）所示，其中有8个非零值。这个清晰因果涌现的程度为<math>
\Delta\Gamma=2.23
\Delta\Gamma=2.23
</math>。对因果涌现的判断与<ref name="Hoel2013" />相同。
</math>。对因果涌现的判断与<ref name="Hoel2013" />相同。