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</math>的EI上限更为严格。因此可以推测 <math>EI\le\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>的EI上限更为严格。因此可以推测 <math>EI\le\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>这一新关系是成立的，但其严密性有待证明。
</math>这一新关系是成立的，但其严密性有待证明。
[[文件:20240101.png|无|缩略图|1029x1029像素|图1]]
[[文件:20240101.png|替代=|1029x1029像素]]
因此，我们得出结论，EI和<math>\Gamma
因此，我们得出结论，EI和<math>\Gamma
</math>在各种TPM上高度相关。
</math>在各种TPM上高度相关。
[[文件:202401012.png|无|缩略图|603x603像素|图3]]
[[文件:202401012.png|替代=|603x603像素]]
==不同==
==不同==
首先，EI 通过KL散度来量化每个行向量与P的平均行向量之间的差异，衡量的是行向量之间的相似性。相反，<math>
首先，EI 通过KL散度来量化每个行向量与P的平均行向量之间的差异，衡量的是行向量之间的相似性。相反，<math>
\Gamma_{\alpha}
\Gamma_{\alpha}
</math>不仅捕获了行向量之间的相似性，而且还捕获了P与动态可逆矩阵的接近度。相比之下，EI无法完成这个任务。
</math>不仅捕获了行向量之间的相似性，而且还捕获了P与动态可逆矩阵的接近度。相比之下，EI无法完成这个任务。
可以通过以下数值实验来验证这一点：可以通过将线性相关行向量与线性独立行向量混合来创建TPM，其中独立向量的数量或等级是受控参数。首先，生成r个独立的独热向量，然后软化这些行向量，软化程度由<math>
可以通过以下数值实验来验证这一点：可以通过将线性相关行向量与线性独立行向量混合来创建TPM，其中独立向量的数量或等级是受控参数。首先，生成r个独立的独热向量，然后软化这些行向量，软化程度由<math>
\sigma</math>确定。随后，通过将这些软化的独热向量与随机选择的线性系数线性组合来创建额外的行向量。然后量化<math>
\sigma</math>确定。随后，通过将这些软化的独热向量与随机选择的线性系数线性组合来创建额外的行向量。然后量化<math>
\Gamma</math>和 EI 之间的差异，结果如下图所示。[[文件:20202021.png|无|缩略图|480x480像素|图2]]很明显，对于较小的r值，随着<math>
\Gamma</math>和 EI 之间的差异，结果如下图所示。
[[文件:20202021.png|替代=|480x480像素]]
很明显，对于较小的r值，随着<math>
\sigma</math>的增加，<math>
\sigma</math>的增加，<math>
\log{\Gamma}
\log{\Gamma}
\Delta\Gamma=0.75
\Delta\Gamma=0.75
</math>。 因果涌现的判断与参考文献<ref name="Hoel2013" />相同。
</math>。 因果涌现的判断与参考文献<ref name="Hoel2013" />相同。
图(g)中的TPM可以显示出模糊的因果涌现，这是在(d)中的TPM上添加强度为（std = 0.03）的随机高斯噪声后得到的。因此，奇异频谱如图(h) 所示。我们选择<math>
图(g)中的TPM可以显示出模糊的因果涌现，这是在(d)中的TPM上添加强度为（std = 0.03）的随机高斯噪声后得到的。因此，奇异频谱如图(h) 所示。我们选择<math>
</math>值是根据图(h)中的奇异值频谱选择的，在图(h)中可以观察到指数为3和<math>
</math>值是根据图(h)中的奇异值频谱选择的，在图(h)中可以观察到指数为3和<math>
\epsilon=0.2
\epsilon=0.2
</math>时有一个明显的分界点。[[文件:截屏2024-08-27 14.58.17.png|缩略图|740x740px|图4|替代=|无]]下图显示了另一个更复杂的布尔网络模型的明显因果涌现例子，该模型来自参考文献<ref name="Hoel2013" />，其中具有相同节点机制的6个节点可归类为3个超级节点，以显示因果涌现。原始布尔网络模型的相应TPM如图(c)所示。奇异值频谱如图(d）所示，其中有8个非零值。这个清晰因果涌现的程度为<math>
</math>时有一个明显的分界点。
[[文件:截屏2024-08-27_14.58.17.png|替代=|740x740像素]]
下图显示了另一个更复杂的布尔网络模型的明显因果涌现例子，该模型来自参考文献<ref name="Hoel2013" />，其中具有相同节点机制的6个节点可归类为3个超级节点，以显示因果涌现。原始布尔网络模型的相应TPM如图(c)所示。奇异值频谱如图(d）所示，其中有8个非零值。这个清晰因果涌现的程度为<math>
\Delta\Gamma=2.23
\Delta\Gamma=2.23
</math>。对因果涌现的判断与<ref name="Hoel2013" />相同。
</math>。对因果涌现的判断与<ref name="Hoel2013" />相同。
[[文件:截屏2024-08-31 20.54.36.png|替代=|缩略图|702x702px|图5|无]]
[[文件:截屏2024-08-31_20.54.36.png|替代=|702x702像素]]
==复杂网络==
==复杂网络==
\Delta\Gamma(0.3)=0.56
\Delta\Gamma(0.3)=0.56
</math>。同图中还显示了两个由SBM生成的网络光谱，它们的大小和块数相同，但参数不同。
</math>。同图中还显示了两个由SBM生成的网络光谱，它们的大小和块数相同，但参数不同。
[[文件:截屏2024-08-31 21.01.3211.png|替代=|无|缩略图|931x931像素|图6]]
[[文件:截屏2024-08-31_21.01.3211.png|替代=|931x931像素]]
==元胞自动机==
==元胞自动机==
如下图所示，关于清晰因果涌现的定义可应用于元胞自动机，以发现其局部涌现结构。在这个例子里刻画了元胞自动机（编号40的基本一维元胞自动机）局部TPM的清晰因果涌现。局部TPM 由包括每个单元及其两个相邻单元的局部窗口获得。图(b) 显示了这些局部 TPM 的奇异值的可能频谱，在这些频谱中可能出现也可能不出现清晰因果涌现。图(c)用红点标记显示了所有单元和时间步长的清晰因果涌现分布（<math>
如下图所示，关于清晰因果涌现的定义可应用于元胞自动机，以发现其局部涌现结构。在这个例子里刻画了元胞自动机（编号40的基本一维元胞自动机）局部TPM的清晰因果涌现。局部TPM 由包括每个单元及其两个相邻单元的局部窗口获得。图(b) 显示了这些局部 TPM 的奇异值的可能频谱，在这些频谱中可能出现也可能不出现清晰因果涌现。图(c)用红点标记显示了所有单元和时间步长的清晰因果涌现分布（<math>
\Delta\Gamma
\Delta\Gamma
</math>）。
</math>）。
[[文件:截屏2024-08-30 10.05.1111.png|替代=|无|缩略图|935x935像素|图7]]
[[文件:截屏2024-08-30_10.05.1111.png|替代=|935x935像素]]
=参考文献=
=参考文献=
<references />
<references />