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所以，我们能看出<math>R</math>是一个对状态空间<math>S</math>的降维函数（得到<math>S'</math>）。而且，我们还需要把<math>T</math>降维成<math>T'</math>。如果<math>T:s_{t+1} = s_{t} P</math>，<math>P</math>为离散马尔科夫矩阵的话，这个针对马尔科夫矩阵的降维可以表示为
所以，我们能看出<math>R</math>是一个对状态空间<math>S</math>的降维函数（得到<math>S'</math>）。而且，我们还需要把<math>T</math>降维成<math>T'</math>。如果<math>T:s_{t+1} = s_{t} P</math>，<math>P</math>为离散马尔科夫矩阵的话，这个针对马尔科夫矩阵的降维可以表示为
<math>P' = W P V,</math>
{{NumBlk|:|
<math>
\begin{aligned}
P' = W P V,
\end{aligned}
</math>
|{{EquationRef|1}}}}
其中<math>P \in \mathbb{R}^{n \times n}</math>，<math>P' \in \mathbb{R}^{k \times k}</math>，<math>W \in \mathbb{R}^{k \times n}</math>，<math>V \in \mathbb{R}^{n \times k}</math>。Buchholz<ref name=":1">Buchholz, Peter. "Exact and ordinary lumpability in finite Markov chains." ''Journal of applied probability'' 31.1 (1994): 59-75.</ref>的文章中把<math>W</math>称作distributor matrix，而<math>V</math>称作collector matrix。
其中<math>P \in \mathbb{R}^{n \times n}</math>，<math>P' \in \mathbb{R}^{k \times k}</math>，<math>W \in \mathbb{R}^{k \times n}</math>，<math>V \in \mathbb{R}^{n \times k}</math>。Buchholz<ref name=":1">Buchholz, Peter. "Exact and ordinary lumpability in finite Markov chains." ''Journal of applied probability'' 31.1 (1994): 59-75.</ref>的文章中把<math>W</math>称作distributor matrix，而<math>V</math>称作collector matrix。
在Hard partitioning的情况下，<math>V_{i, j} = 1\ if\ s_i \in s_j'\ and\ 0\ otherwise</math><ref name=":1" />，即一个表示<math>i</math>属于<math>j</math>列的零一分组矩阵，如果是Soft partitioning的话，<math>V</math>则不一定会是零一矩阵。
在Hard partitioning的情况下，<math>V_{i, j} = 1\ if\ s_i \in s_j'\ and\ 0\ otherwise</math><ref name=":1" />，即一个表示<math>i</math>属于<math>j</math>列的零一分组矩阵，如果是Soft partitioning的话，<math>V</math>则不一定会是零一矩阵。
而<math>W = D^{-1}(V)^T, D = diag(\alpha V)</math>，其中<math>\alpha</math>是一个非负对角矩阵。
而
{{NumBlk|:|
<math>
\begin{aligned}
W = D^{-1}(V)^T, D = diag(\alpha V),
\end{aligned}
</math>
|{{EquationRef|2}}}}
其中<math>\alpha</math>是一个非负对角矩阵。
所以，我们能看到，对马尔科夫链做粗粒化的时候，不仅要对状态空间做降维(<math>R</math>)，还要对马尔科夫矩阵都要做降维(<math>V</math>)，当中也包含了对概率空间的降维(<math>W</math>)。
所以，我们能看到，对马尔科夫链做粗粒化的时候，不仅要对状态空间做降维(<math>R</math>)，还要对马尔科夫矩阵都要做降维(<math>V</math>)，当中也包含了对概率空间的降维(<math>W</math>)。
不管状态空间按照哪一个Hard Partitioning方案做分类，它都有对应后续的对转移矩阵和概率空间的粗粒化方案<ref name=":1" />，并满足上面提到的粗粒化的两个规则。
不管状态空间按照哪一个Hard Partitioning方案做分类，它都有对应后续的对转移矩阵和概率空间的粗粒化方案（公式1和2）<ref name=":1" />，并满足上面提到的粗粒化的两个规则。
但是，其中的某些分组方案lumpable，也有某些分组方案non-lumpable。
但是，其中的某些分组方案lumpable，也有某些分组方案non-lumpable。
所以，一个满足lumpability的良定义的粗粒化方案应该在原来的两个条件下，再多加两个条件：
所以，一个满足lumpability的良定义的粗粒化方案应该在原来的两个条件下，再多加两个条件：
#粗粒化后的<math>S'</math>和<math>T'</math>要符合马尔科夫链定义。
#粗粒化后的<math>S'</math>和<math>T'</math>要符合马尔科夫链定义；
#满足交换律
#满足交换律；
#Hard Partitioning，即存在分组矩阵<math>V_{i, j} = 1\ if\ s_i \in s_j'\ and\ 0\ otherwise</math>
#Hard Partitioning，即存在分组矩阵<math>V_{i, j} = 1\ if\ s_i \in s_j'\ and\ 0\ otherwise</math>；
#<math>V</math>是一个lumpable分组。
#<math>V</math>是一个lumpable分组。