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第24行： − 举两个例子来说明斑图涌现的特征，一个例子是确定性混沌，确定性运动方程随着时间的推移导致了看似不可预测的行为。系统从初始条件映射到后来的状态，变得极为复杂，以至于观察者既无法足够准确地测量系统，也无法以有限的计算资源预测未来的行为。这种混沌的涌现既是非线性动力学系统复杂行为的产物，也是观测者能力的限制。另一个例子是二维的自避免随机游走，粒子的逐步行为由随机方程直接规定：每次移动时，它朝随机方向移动，除非是刚刚离开的方向。经过一段时间，结果是路径描绘出一个自相似的分形结构。在这种情况下，分形结构从大部分随机的逐步运动中涌现出来。+ − 第一个例子的新增特征是不可预测性；第二个例子则是自相似性。在这两种情况下的新颖性都因其涌现特征与系统的定义特征直接对立而加剧：完全的确定性在混沌下隐藏，而几乎完全的随机性下则显现出自相似的有序性。但这些涌现特征对谁而言是“新”的呢？混沌动力学系统的状态在应用确定性函数时总是移动到唯一的下一个状态。显然，系统状态并不知道它的行为是不可预测的。对于随机游走，“分形特征”不在执行局部步骤的粒子“眼中”，这本身就是定义上的，两种情况下的新颖性都在于系统外的观察者眼中。+ 第33行：
第33行： − 我们可以用生物进化的思想来阐述内在涌现的问题，解释一个高度有序系统是怎么从混沌中涌现的，但是它在解释生命形式的多样性方面预测能力有限。因此要将系统限制在一个结构和生物特征明确的原型宇宙，并把它简化为包括一个环境和一组适应性的观察者或“智能体”。这样才能清晰地定义智能体的性质。智能体（Agent）试图构建和维持一个对其环境具有最大预测能力的内部模型。每个智能体的环境是其他智能体的集合，可以视为一个随机动力系统（Stochastic Dynamical Systems，简称SDS）。在任何给定的时刻，智能体感知到的是当前环境状态的投影。也就是说，环境状态被智能体的感官装置（传感器）所隐藏。随着时间的推移，感官装置产生一系列测量，这些测量引导智能体利用其可用资源（下图的基层）来构建内部环境模型。基于环境模型捕捉到的规律，智能体通过效应器采取行动，最终改变环境状态。如果智能体可以将测量结果尽可能划分随机和确定的部分，然后尽可能捕捉确定的规律，智能体就能利用环境中的更多规律，这种优势会提高智能体的生存能力。+ 第45行：
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第98行： − 用互信息的角度去理解的话，上式等价于<math>I(\mathcal{S}^{\prime};\mathcal{S})\geq I(\hat{\mathcal{R}}^{\prime};\hat{\mathcal{R}}) </math>，可以理解为任意有效态对它自己下一时刻的互信息中，其中因果态的互信息最大，若不考虑Do干预，因果态和因果涌现理论中最大化有效信息所得到的宏观态意义相同。+ 第137行：
第137行： − 接下来将采用具体的方法来演示如何将计算力学的理论应用于实际案例，要演示的是混沌动力学中的逻辑斯谛映射(logistic map)，特别是其周期倍增的混沌路径。用于重建模型的数据流来自逻辑斯谛映射的轨迹，轨迹是通过迭代映射<math>x_{n+1}=f(x_n)</math>生成的，迭代函数为<math>f(x) = rx(1-x)</math>，其中非线性参数<math>\begin{matrix}r&\in&[0,4]\end{matrix}</math>，初始条件<math>x_0\in[0,1]</math>，迭代函数的最大值出现在<math>x_c = \frac12</math>。+
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'''计算力学（Computational Mechanics）'''是一套用于量化涌现的框架。它以一种计算的视角，研究观察者识别涌现时，模型发生的变化。计算力学以信息论和生物进化的思想为基础，是目前最早的对涌现的定量化研究。在应用当中，该理论提出了对复杂性度量的新指标，并有一套实现涌现识别的机器重构算法。
'''计算力学（Computational Mechanics）'''是一套用于量化[[涌现]]的框架。它以一种计算的视角，研究观察者识别涌现时，模型发生的变化。计算力学以[[信息论]]和生物进化的思想为基础，是目前最早的对涌现的定量化研究。在应用当中，该理论提出了对复杂性度量的新指标，并有一套实现涌现识别的机器重构算法。
== 问题背景 ==
== 问题背景 ==
# 对涌现的直觉定义：系统中出现任何可以被称为新颖的特征，即系统有宏观的特征；
# 对涌现的直觉定义：系统中出现任何可以被称为新颖的特征，即系统有宏观的特征；
#'''斑图涌现（Pattern Formation）'''：某一个外在的观察者，用某种编码方式在系统中发现斑图。
#'''斑图涌现（Pattern Formation）'''：某一个外在的观察者，用某种编码方式在系统中发现[[斑图]]。
#'''内在涌现（Intrinsic Emergence）'''：系统本身（构成系统的智能体）捕捉并利用它自身出现的斑图。
#'''内在涌现（Intrinsic Emergence）'''：[[系统]]本身（构成系统的智能体）捕捉并利用它自身出现的斑图。
下面我们用一些例子来说明对涌现不同层次的描述。
下面我们用一些例子来说明对涌现不同层次的描述。
涌现通常被理解为一个过程，该过程导致出现的结构并未直接由控制系统的定义约束和瞬时力描述。随着时间的推移，“新特征”出现在运动方程直接指定的尺度之外。比如一堆随机运动的粒子，虽然瞬时力可以用运动方程描述，但是从宏观尺度上会表现出压强、体积以及温度等新特征。我们需要明确特征是什么以及它新在哪里。否则这一概念几乎没有内容，因为几乎任何时间依赖的系统都会表现出涌现特征。
涌现通常被理解为一个过程，该过程导致出现的结构并未直接由控制系统的定义约束和瞬时力描述。随着时间的推移，“新特征”出现在运动方程直接指定的尺度之外。比如一堆随机运动的粒子，虽然瞬时力可以用运动方程描述，但是从宏观尺度上会表现出压强、体积以及温度等新特征。我们需要明确特征是什么以及它新在哪里。否则这一概念几乎没有内容，因为几乎任何时间依赖的系统都会表现出涌现特征。
举两个例子来说明斑图涌现的特征，一个例子是确定性[[混沌理论|混沌]]，确定性运动方程随着时间的推移导致了看似不可预测的行为。系统从初始条件映射到后来的状态，变得极为复杂，以至于观察者既无法足够准确地测量系统，也无法以有限的计算资源预测未来的行为。这种混沌的涌现既是非线性动力学系统复杂行为的产物，也是观测者能力的限制。另一个例子是二维的自避免[[随机游走]]，粒子的逐步行为由随机方程直接规定：每次移动时，它朝随机方向移动，除非是刚刚离开的方向。经过一段时间，结果是路径描绘出一个自相似的分形结构。在这种情况下，分形结构从大部分随机的逐步运动中涌现出来。
第一个例子的新增特征是不可预测性；第二个例子则是[[自相似]]性。在这两种情况下的新颖性都因其涌现特征与系统的定义特征直接对立而加剧：完全的确定性在混沌下隐藏，而几乎完全的随机性下则显现出自相似的有序性。但这些涌现特征对谁而言是“新”的呢？混沌动力学系统的状态在应用确定性函数时总是移动到唯一的下一个状态。显然，系统状态并不知道它的行为是不可预测的。对于随机游走，“分形特征”不在执行局部步骤的粒子“眼中”，这本身就是定义上的，两种情况下的新颖性都在于系统外的观察者眼中。
实际上，检测到的斑图通常是通过观察者选择的统计数据来隐含假定的，可能某些斑图的功能表现与现象的数学模型一致，但这些模型本身依赖于一系列理论假设。简而言之，在斑图形成领域，斑图通常是被猜测出来的，观察者通过固定的规律库预期这些结构，然后再进行验证。类似于通信频道的类比，观察者就像是一个已经手握密码本的接收者。任何未能通过密码本解码的信号本质上都是噪声，即观察者未能识别的斑图。
实际上，检测到的斑图通常是通过观察者选择的统计数据来隐含假定的，可能某些斑图的功能表现与现象的数学模型一致，但这些模型本身依赖于一系列理论假设。简而言之，在斑图形成领域，斑图通常是被猜测出来的，观察者通过固定的规律库预期这些结构，然后再进行验证。类似于通信频道的类比，观察者就像是一个已经手握密码本的接收者。任何未能通过密码本解码的信号本质上都是噪声，即观察者未能识别的斑图。
=== '''进化的系统模型''' ===
=== '''进化的系统模型''' ===
我们可以用生物进化的思想来阐述内在涌现的问题，解释一个高度有序系统是怎么从混沌中涌现的，但是它在解释生命形式的多样性方面预测能力有限。因此要将系统限制在一个结构和生物特征明确的原型宇宙，并把它简化为包括一个环境和一组适应性的观察者或“智能体”。这样才能清晰地定义智能体的性质。智能体（Agent）试图构建和维持一个对其环境具有最大预测能力的内部模型。每个智能体的环境是其他智能体的集合，可以视为一个随机[[动力系统理论 Dynamical Systems Theory|动力系统]]（Stochastic Dynamical Systems，简称SDS）。在任何给定的时刻，智能体感知到的是当前环境状态的投影。也就是说，环境状态被智能体的感官装置（传感器）所隐藏。随着时间的推移，感官装置产生一系列测量，这些测量引导智能体利用其可用资源（下图的基层）来构建内部环境模型。基于环境模型捕捉到的规律，智能体通过效应器采取行动，最终改变环境状态。如果智能体可以将测量结果尽可能划分随机和确定的部分，然后尽可能捕捉确定的规律，智能体就能利用环境中的更多规律，这种优势会提高智能体的生存能力。
[[文件:宇宙模型示意图.jpg|居中|无框|600x600像素]]
[[文件:宇宙模型示意图.jpg|居中|无框|600x600像素]]
=== '''香农熵率''' ===
=== '''香农熵率''' ===
柯式复杂度[math]\displaystyle{ K(x) }[/math]是指在通用确定性图灵机（UTM）上运行时输出的最小程序所需的比特数。不同的程序语言描述同一程序的[math]\displaystyle{ K(x) }[/math]是可以比较的，但也无法确定哪种程序语言有最小的[math]\displaystyle{ K(x) }[/math]，同一种程序语言在描述不同程序时[math]\displaystyle{ K(x) }[/math]也并不相同，所以柯式复杂度通常是不可计算的。如果待测对象是由信息源（例如马尔可夫链）生成的离散符号序列[math]\displaystyle{ s^L }[/math] ，[math]\displaystyle{ L }[/math]为序列的长度，其柯式复杂度的香农熵率[math]\displaystyle{ h_μ }[/math]为：
柯式复杂度[math]\displaystyle{ K(x) }[/math]是指在通用确定性[[图灵机]]（UTM）上运行时输出的最小程序所需的比特数。不同的程序语言描述同一程序的[math]\displaystyle{ K(x) }[/math]是可以比较的，但也无法确定哪种程序语言有最小的[math]\displaystyle{ K(x) }[/math]，同一种程序语言在描述不同程序时[math]\displaystyle{ K(x) }[/math]也并不相同，所以柯式复杂度通常是不可计算的。如果待测对象是由信息源（例如马尔可夫链）生成的离散符号序列[math]\displaystyle{ s^L }[/math] ，[math]\displaystyle{ L }[/math]为序列的长度，其柯式复杂度的香农熵率[math]\displaystyle{ h_μ }[/math]为：
<nowiki>[math]\displaystyle{ \frac{K\left(s^{L}\right)}{L}\underset{L\to\infty}{\operatorname*{\operatorname*{\operatorname*{\rightarrow}}}}h_{\mu} }[/math]，转化为公式形式为：[math]\displaystyle{ h_\mu=\lim_{L\to\infty}\frac{H(\Pr(s^L))}L }[/math]</nowiki>
<nowiki>[math]\displaystyle{ \frac{K\left(s^{L}\right)}{L}\underset{L\to\infty}{\operatorname*{\operatorname*{\operatorname*{\rightarrow}}}}h_{\mu} }[/math]，转化为公式形式为：[math]\displaystyle{ h_\mu=\lim_{L\to\infty}\frac{H(\Pr(s^L))}L }[/math]</nowiki>
（3）最小随机性————在相同预测能力的前提下，因果态集合[math]\displaystyle{ \mathcal{S} }[/math]在有效态集合[math]\displaystyle{ \mathcal{R} }[/math]的所有类型中，它的随机性最小：设<math>\hat{\mathcal{R}} </math>和<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>为满足性质（1）中不等式等号成立的有效态，则对于所有的<math>\hat{\mathcal{R}} </math>和<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>，都有<math>H[\hat{\mathcal{R}}^{\prime}|\hat{\mathcal{R}}]\geq H[\mathcal{S}^{\prime}|\mathcal{S}] </math>，其中<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>和<math>\mathcal{S}^{\prime} </math>分别是该过程的下一时刻有效态和下一时刻因果态。
（3）最小随机性————在相同预测能力的前提下，因果态集合[math]\displaystyle{ \mathcal{S} }[/math]在有效态集合[math]\displaystyle{ \mathcal{R} }[/math]的所有类型中，它的随机性最小：设<math>\hat{\mathcal{R}} </math>和<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>为满足性质（1）中不等式等号成立的有效态，则对于所有的<math>\hat{\mathcal{R}} </math>和<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>，都有<math>H[\hat{\mathcal{R}}^{\prime}|\hat{\mathcal{R}}]\geq H[\mathcal{S}^{\prime}|\mathcal{S}] </math>，其中<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>和<math>\mathcal{S}^{\prime} </math>分别是该过程的下一时刻有效态和下一时刻因果态。
用[[互信息]]的角度去理解的话，上式等价于<math>I(\mathcal{S}^{\prime};\mathcal{S})\geq I(\hat{\mathcal{R}}^{\prime};\hat{\mathcal{R}}) </math>，可以理解为任意有效态对它自己下一时刻的互信息中，其中因果态的互信息最大，若不考虑[[Do演算|Do干预]]，因果态和[[因果涌现|因果涌现理论]]中最大化[[有效信息]]所得到的宏观态意义相同。
若想更深入的理解因果态的性质可以阅读James Crutchfield的两篇论文<ref name=":0" /><ref>Shalizi, C. R.. & Crutchfield, J. P. (2001). Computational Mechanics: Pattern and Prediction, Structure and
若想更深入的理解因果态的性质可以阅读James Crutchfield的两篇论文<ref name=":0" /><ref>Shalizi, C. R.. & Crutchfield, J. P. (2001). Computational Mechanics: Pattern and Prediction, Structure and
=== 逻辑斯谛映射 ===
=== 逻辑斯谛映射 ===
接下来将采用具体的方法来演示如何将计算力学的理论应用于实际案例，要演示的是混沌动力学中的[[Logistic映射|逻辑斯谛映射]](logistic map)，特别是其周期倍增的混沌路径。用于重建模型的数据流来自逻辑斯谛映射的轨迹，轨迹是通过迭代映射<math>x_{n+1}=f(x_n)</math>生成的，迭代函数为<math>f(x) = rx(1-x)</math>，其中非线性参数<math>\begin{matrix}r&\in&[0,4]\end{matrix}</math>，初始条件<math>x_0\in[0,1]</math>，迭代函数的最大值出现在<math>x_c = \frac12</math>。
[[文件:逻辑斯谛曲线.jpg|居中|无框|300x300px|替代=]]
[[文件:逻辑斯谛曲线.jpg|居中|无框|300x300px|替代=]]
上图为迭代函数<math>f(x) = rx(1-x)</math>中<math>r</math>与<math>x</math>的关系图，当<math>r＜3.5699...</math>时函数存在倍周期现象，当<math>r＞3.5699...</math>时会出现混沌现象。若要识别混沌中的有序结构，就需要对<math>x</math>进行粗粒化操作，方法是通过二元分割观察轨迹<math>\mathbf{x}=x_0x_1x_2x_3\ldots </math> ，将其转换为离散序列<math>\mathcal{P}=\{x_n\in[0,x_c)\Rightarrow s=0,x_n\in[x_c,1]\Rightarrow s=1\} </math>，这种划分是“生成”的，这意味着足够长的二进制序列来自任意小的初始条件间隔。因此，可以使用粗粒化的观测<math>\mathcal{P} </math>来研究逻辑斯谛映射中的信息处理。
上图为迭代函数<math>f(x) = rx(1-x)</math>中<math>r</math>与<math>x</math>的关系图，当<math>r＜3.5699...</math>时函数存在倍周期现象，当<math>r＞3.5699...</math>时会出现混沌现象。若要识别混沌中的有序结构，就需要对<math>x</math>进行粗粒化操作，方法是通过二元分割观察轨迹<math>\mathbf{x}=x_0x_1x_2x_3\ldots </math> ，将其转换为离散序列<math>\mathcal{P}=\{x_n\in[0,x_c)\Rightarrow s=0,x_n\in[x_c,1]\Rightarrow s=1\} </math>，这种划分是“生成”的，这意味着足够长的二进制序列来自任意小的初始条件间隔。因此，可以使用粗粒化的观测<math>\mathcal{P} </math>来研究逻辑斯谛映射中的信息处理。