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===马尔科夫链的简化===
===马尔科夫链的简化===
除了对向量以及高维动力学的降维之外，[[马尔科夫链的简化]]（Lumping Markov Chain）也和因果涌现有着重要的联系。马尔可夫过程的模型约简<ref>Zhang A, Wang M. Spectral state compression of markov processes[J]. IEEE transactions on information theory, 2019, 66(5): 3202-3231.</ref>是状态转移系统建模中的一个重要问题。和因果涌现中的粗粒化相似，马尔科夫链的简化主要也是通过将多个状态合并成一个状态来降低马尔科夫链链的复杂度。该过程主要是通过识别一些状态的组合，使得合并后的系统仍然保留马尔科夫性质。
除了对向量以及高维动力学的降维之外，[[马尔科夫链的简化]]（Lumping Markov Chain）也和因果涌现有着重要的联系。马尔可夫过程的模型约简<ref>Zhang A, Wang M. Spectral state compression of markov processes[J]. IEEE transactions on information theory, 2019, 66(5): 3202-3231.</ref>是状态转移系统建模中的一个重要问题。和因果涌现中的粗粒化相似，马尔科夫链的简化主要也是通过将多个状态合并成一个状态来降低马尔科夫链的复杂度。该过程主要是通过识别一些状态的组合，使得合并后的系统仍然保留马尔科夫性质。
可约简性（Lumpability）是一种对分类的衡量，这个概念最早出现在Kemeny, Snell在1969年的有限马尔科夫链（Finite Markov Chains）<ref name=":33">Kemeny, John G., and J. Laurie Snell. ''Finite markov chains''. Vol. 26. Princeton, NJ: van Nostrand, 1969. https://www.math.pku.edu.cn/teachers/yaoy/Fall2011/Kemeny-Snell_Chapter6.3-4.pdf</ref>中。马尔科夫链的粗粒化不仅要对状态空间做，也要对转移矩阵和概率空间做。这三个部分可以同时做，也可以看作为：先对状态空间做，再对转移矩阵和概率空间做；即先对状态做分组，然后再获取对应的粗粒化后的转移矩阵。我们也提到过对状态空间做粗粒化有硬分块（Hard Partitioning）和软分块（Soft Partitioning）两种。软分块可以看作把微观状态打散重构成了一些宏观状态，而硬分块则是更严格的，把若干个微观状态分成一个组。而可约简性（Lumpability）就是一个指标，用来评价‘对于某一种硬分块的微观状态分组分案，是否对微观状态转移矩阵可约简’。不管状态空间按照哪一个硬分块方案做分类，它都有对应后续的对转移矩阵和概率空间的粗粒化方案<ref>Buchholz, Peter. "Exact and ordinary lumpability in finite Markov chains." ''Journal of applied probability'' 31.1 (1994): 59-75.</ref>，并满足上面提到的粗粒化的两个规则。但是，其中的某些分组方案可约（lumpable），也有某些分组方案不可约（non-lumpable）。
可约简性（Lumpability）是一种对分类的衡量，这个概念最早出现在Kemeny, Snell在1969年的有限马尔科夫链（Finite Markov Chains）<ref name=":33">Kemeny, John G., and J. Laurie Snell. ''Finite markov chains''. Vol. 26. Princeton, NJ: van Nostrand, 1969. https://www.math.pku.edu.cn/teachers/yaoy/Fall2011/Kemeny-Snell_Chapter6.3-4.pdf</ref>中。马尔科夫链的粗粒化不仅要对状态空间做，也要对转移矩阵和概率空间做。这三个部分可以同时做，也可以看作为：先对状态空间做，再对转移矩阵和概率空间做；即先对状态做分组，然后再获取对应的粗粒化后的转移矩阵。我们也提到过对状态空间做粗粒化有硬分块（Hard Partitioning）和软分块（Soft Partitioning）两种。软分块可以看作把微观状态打散重构成了一些宏观状态，而硬分块则是更严格的，把若干个微观状态分成一个组。而可约简性（Lumpability）就是一个指标，用来评价‘对于某一种硬分块的微观状态分组分案，是否对微观状态转移矩阵可约简’。不管状态空间按照哪一个硬分块方案做分类，它都有对应后续的对转移矩阵和概率空间的粗粒化方案<ref>Buchholz, Peter. "Exact and ordinary lumpability in finite Markov chains." ''Journal of applied probability'' 31.1 (1994): 59-75.</ref>，并满足上面提到的粗粒化的两个规则。但是，其中的某些分组方案可约（lumpable），也有某些分组方案不可约（non-lumpable）。