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→关键定理与证明
=== 宏观EI的变分下界 ===
=== 宏观EI的变分下界 ===
'''定理'''1（宏观EI的变分下界）：''对于给定的 q 值，由式{{EquationNote|3}}定义的无约束目标函数优化等价于优化式{{EquationNote|1}}中定义的约束目标函数的下界。''
'''定理'''1（宏观EI的变分下界）：''对于给定的 q 值，由式{{EquationNote|3}}定义的无约束目标函数优化等价于优化式{{EquationNote|1}}中定义的约束目标函数的下界。''
优化目标（式{{EquationNote|1}}）便转化为：{{NumBlk|：|2=<nowiki>[math]\displaystyle{ \begin{aligned}&\min_{f,g,\phi,\phi\dagger}\sum_{t=1}^{T-1}w(\boldsymbol{x}_t)\parallel\boldsymbol{y}_t-g(\boldsymbol{y}_{t+1})\parallel+\lambda\parallel\hat{x}_{t+1}-\boldsymbol{x}_{t+1}\parallel,\\&s.t.\begin{cases}y_{t}=\phi(x_{t}),\\\hat{y}_{t+1}=f(y_t),\\\hat{x}_{t+1}=\phi^{\dagger}\left(f_{q}(\phi(x_{t})\bigr)\right),\\y_{t+1}=\phi(x_{t+1}).\end{cases}\end{aligned} }[/math]</nowiki>|3={{EquationRef|3}}}}
优化目标（式{{EquationNote|1}}）便转化为：{{NumBlk|：|2=<nowiki>[math]\displaystyle{ \begin{aligned}&\min_{f,g,\phi,\phi\dagger}\sum_{t=1}^{T-1}w(\boldsymbol{x}_t)\parallel\boldsymbol{y}_t-g(\boldsymbol{y}_{t+1})\parallel+\lambda\parallel\hat{x}_{t+1}-\boldsymbol{x}_{t+1}\parallel,\\&s.t.\begin{cases}y_{t}=\phi(x_{t}),\\\hat{y}_{t+1}=f(y_t),\\\hat{x}_{t+1}=\phi^{\dagger}\left(f_{q}(\phi(x_{t})\bigr)\right),\\y_{t+1}=\phi(x_{t+1}).\end{cases}\end{aligned} }[/math]</nowiki>|3={{EquationRef|3}}}}
\hat{y}_{t}
\hat{y}_{t}
</math>，<math>λ</math>作为拉格朗日乘子，在实验框架内被认为是一个可调的超参数。
</math>，<math>λ</math>作为拉格朗日乘子，在实验框架内被认为是一个可调的超参数。
{| class="wikitable"
|+证明
|原始的有约束的目标优化公式如式{{EquationNote|1}}所示。
原始的有约束的目标优化公式如式{{EquationNote|1}}所示。
在此方程中<math>\hat{X}_{t+1}=\psi_{\omega}^{-1}(\hat{Y}_{t+1}\bigoplus \xi)</math>，其中<math>\psi_{\omega}^{-1}</math>是可逆映射，根据引理1和引理2以及互信息的性质，我们可以得到：
在此方程中<math>\hat{X}_{t+1}=\psi_{\omega}^{-1}(\hat{Y}_{t+1}\bigoplus \xi)</math>，其中<math>\psi_{\omega}^{-1}</math>是可逆映射，根据引理1和引理2以及互信息的性质，我们可以得到：
便得到了式{{EquationNote|3}}。
便得到了式{{EquationNote|3}}。
|}
相关引理：
相关引理：