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===奇异值作为椭圆或椭球体的半轴===
===奇异值作为椭圆或椭球体的半轴===
如图所示，我们可以将奇异值理解为二维椭圆半轴的长度。这一概念可以推广到<math>n</math>维[[欧几里得空间 Euclidean space]]：任何<math>n \times n</math>方阵的奇异值都可以看作<math>n</math>维椭球体半轴的长度。同理，任何<math>m \times n</math>矩阵的奇异值可以视为<math>m</math>维空间中<math>n</math>维椭球体半轴的长度，比如三维空间中（倾斜的）二维平面上的椭圆。奇异值编码了半轴的长度，而奇异向量则编码了方向。详见下文：
如图所示，我们可以将奇异值理解为二维椭圆半轴的长度。这一概念可以推广到<math>n</math>维欧几里得空间（Euclidean space）：任何<math>n \times n</math>方阵的奇异值都可以看作<math>n</math>维椭球体半轴的长度。同理，任何<math>m \times n</math>矩阵的奇异值可以视为<math>m</math>维空间中<math>n</math>维椭球体半轴的长度，比如三维空间中（倾斜的）二维平面上的椭圆。奇异值编码了半轴的长度，而奇异向量则编码了方向。详见下文：
===<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}</math>的列构成正交标准基===
===<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}</math>的列构成正交标准基===
由于<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>都是酉矩阵，它们的列分别形成一组[[正交标准向量 orthonormal vectors]]，我们可以将其视为[[基向量 basis vectors]]。矩阵<math>\mathbf{M}</math>把基向量<math>\mathbf{V}_i</math>映射到拉伸后的单位向量<math>\sigma_i\mathbf{U}_i</math>上。根据酉矩阵的定义，它们的共轭转置<math>\mathbf{U}^*</math>和<math>\mathbf{V}</math>也具有相同性质，只是失去了奇异值作为拉伸的几何解释。简言之，<math>\mathbf{U}</math>、<math>\mathbf{U}^*</math>、<math>\mathbf{V}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>的列都构成[[标准正交基 orthonormal bases]]。
由于<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>都是酉矩阵，它们的列分别形成一组正交标准向量（orthonormal vectors），我们可以将其视为基向量（basis vectors）。矩阵<math>\mathbf{M}</math>把基向量<math>\mathbf{V}_i</math>映射到拉伸后的单位向量<math>\sigma_i\mathbf{U}_i</math>上。根据酉矩阵的定义，它们的共轭转置<math>\mathbf{U}^*</math>和<math>\mathbf{V}</math>也具有相同性质，只是失去了奇异值作为拉伸的几何解释。简言之，<math>\mathbf{U}</math>、<math>\mathbf{U}^*</math>、<math>\mathbf{V}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>的列都构成标准正交基（orthonormal bases）。
当<math>\mathbf{M}</math>是[[正半定厄米特矩阵 positive-semidefinite Hermitian matrix]]时，<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}</math>都等同于用于对角化<math>\mathbf{M}</math>的酉矩阵。然而，如果<math>\mathbf{M}</math>不是正半定厄米特矩阵但仍可对角化，那么其特征分解和奇异值分解就会有所不同。
当<math>\mathbf{M}</math>是正半定厄米特矩阵（positive-semidefinite Hermitian matrix）时，<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}</math>都等同于用于对角化<math>\mathbf{M}</math>的酉矩阵。然而，如果<math>\mathbf{M}</math>不是正半定厄米特矩阵但仍可对角化，那么其特征分解和奇异值分解就会有所不同。
===与四个基本子空间的关系：===
===与四个基本子空间的关系：===
SVD定理的几何含义可以概括为：对于每个线性映射<math>T:K^n\to K^m</math>，我们能找到<math>K^n</math>和<math>K^m</math>的正交标准基，使<math>T</math>将<math>K^n</math>的第<math>i</math>个基向量映射到<math>K^m</math>的第<math>i</math>个基向量的非负倍数，并将剩余基向量映射到零。在这些基下，映射<math>T</math>表现为一个具有非负实数对角元素的对角矩阵。
SVD定理的几何含义可以概括为：对于每个线性映射<math>T:K^n\to K^m</math>，我们能找到<math>K^n</math>和<math>K^m</math>的正交标准基，使<math>T</math>将<math>K^n</math>的第<math>i</math>个基向量映射到<math>K^m</math>的第<math>i</math>个基向量的非负倍数，并将剩余基向量映射到零。在这些基下，映射<math>T</math>表现为一个具有非负实数对角元素的对角矩阵。
为了更直观地理解奇异值和SVD分解（至少在实向量空间中），我们可以考虑<math>\mathbf{R}^n</math>中半径为1的球面<math>S</math>。线性映射<math>T</math>将这个球面映射到<math>\mathbf{R}^m</math>中的一个椭球体。非零奇异值就是这个椭球体[[半轴 semi-axes]]的长度。特别地，当<math>n=m</math>且所有奇异值都不同且非零时，线性映射<math>T</math>的SVD可以分解为三个连续步骤：
为了更直观地理解奇异值和SVD分解（至少在实向量空间中），我们可以考虑<math>\mathbf{R}^n</math>中半径为1的球面<math>S</math>。线性映射<math>T</math>将这个球面映射到<math>\mathbf{R}^m</math>中的一个椭球体。非零奇异值就是这个椭球体半轴（semi-axes）的长度。特别地，当<math>n=m</math>且所有奇异值都不同且非零时，线性映射<math>T</math>的SVD可以分解为三个连续步骤：
1. 考虑椭球体<math>T(S)</math>及其轴，然后找出<math>\mathbf{R}^n</math>中被<math>T</math>映射到这些轴上的方向。这些方向恰好相互正交。首先应用等距变换<math>\mathbf{V}^*</math>，将这些方向送到<math>\mathbf{R}^n</math>的坐标轴。
1. 考虑椭球体<math>T(S)</math>及其轴，然后找出<math>\mathbf{R}^n</math>中被<math>T</math>映射到这些轴上的方向。这些方向恰好相互正交。首先应用等距变换<math>\mathbf{V}^*</math>，将这些方向送到<math>\mathbf{R}^n</math>的坐标轴。