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→范数
===Ky Fan范数===
===Ky Fan范数===
我们把<math>\mathbf{M}</math>的k个最大奇异值之和称为<math>\mathbf{M}</math>的Ky Fan k-范数，这是一种[[矩阵范数 matrix norm]]。
我们把<math>\mathbf{M}</math>的k个最大奇异值之和称为<math>\mathbf{M}</math>的Ky Fan k-范数，这是一种矩阵范数（matrix nor）。
Ky Fan范数中的第一个，即Ky Fan 1-范数，等同于<math>\mathbf{M}</math>作为线性算子相对于<math>K^m</math>和<math>K^n</math>的欧几里得范数的[[算子范数 operator norm]]。换言之，Ky Fan 1-范数就是标准<math>\ell^2</math>欧几里得内积诱导的算子范数。我们很容易就能验证Ky Fan 1-范数和奇异值之间的关系。一般来说，对于（可能是无限维）希尔伯特空间上的有界算子<math>\mathbf{M}</math>，我们有：
Ky Fan范数中的第一个，即Ky Fan 1-范数，等同于<math>\mathbf{M}</math>作为线性算子相对于<math>K^m</math>和<math>K^n</math>的欧几里得范数的算子范数（operator norm）。换言之，Ky Fan 1-范数就是标准<math>\ell^2</math>欧几里得内积诱导的算子范数。我们很容易就能验证Ky Fan 1-范数和奇异值之间的关系。一般来说，对于（可能是无限维）希尔伯特空间上的有界算子<math>\mathbf{M}</math>，我们有：
<math>\|\mathbf{M}\| = \|\mathbf{M}^*\mathbf{M}\|^{\frac{1}{2}}</math>
<math>\|\mathbf{M}\| = \|\mathbf{M}^*\mathbf{M}\|^{\frac{1}{2}}</math>
在矩阵情况下，<math>(\mathbf{M}^*\mathbf{M})^{1/2}</math>是个正规矩阵，所以<math>\|\mathbf{M}^*\mathbf{M}\|^{1/2}</math>就是<math>(\mathbf{M}^*\mathbf{M})^{1/2}</math>的最大特征值，也就是<math>\mathbf{M}</math>的最大奇异值。
在矩阵情况下，<math>(\mathbf{M}^*\mathbf{M})^{1/2}</math>是个正规矩阵，所以<math>\|\mathbf{M}^*\mathbf{M}\|^{1/2}</math>就是<math>(\mathbf{M}^*\mathbf{M})^{1/2}</math>的最大特征值，也就是<math>\mathbf{M}</math>的最大奇异值。
Ky Fan范数中的最后一个，即所有奇异值的和，我们称之为[[迹范数 trace norm]]（也叫核范数），定义为<math>\|\mathbf{M}\| = \operatorname{Tr}(\mathbf{M}^*\mathbf{M})^{1/2}</math>（<math>\mathbf{M}^*\mathbf{M}</math>的特征值是奇异值的平方）。
Ky Fan范数中的最后一个，即所有奇异值的和，我们称之为迹范数（trace norm）（也叫核范数），定义为<math>\|\mathbf{M}\| = \operatorname{Tr}(\mathbf{M}^*\mathbf{M})^{1/2}</math>（<math>\mathbf{M}^*\mathbf{M}</math>的特征值是奇异值的平方）。
===希尔伯特-施密特范数===
===希尔伯特-施密特范数===
奇异值还与算子空间上的另一个范数有关。我们来看看<math>n \times n</math>矩阵上的[[希尔伯特-施密特内积 Hilbert–Schmidt inner product ]]，它的定义是：
奇异值还与算子空间上的另一个范数有关。我们来看看<math>n \times n</math>矩阵上的希尔伯特-施密特内积（Hilbert–Schmidt inner product），它的定义是：
<math>\langle \mathbf{M}, \mathbf{N} \rangle = \operatorname{tr}(\mathbf{N}^*\mathbf{M}).</math>
<math>\langle \mathbf{M}, \mathbf{N} \rangle = \operatorname{tr}(\mathbf{N}^*\mathbf{M}).</math>