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第603行： − + − 对给定分组方法'''<math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>''' ，这里[math]A_i[/math]是状态空间A的任意一个子集，且满足：[math]A_i\cap A_j\neq \Phi[/math]，[math]\Phi[/math]表示空集。则可聚类的充分必要条件为：+ − 设<math>p_{s_k \rightarrow s_m} = p(s^{(t)} = s_m | s^{(t-1)} = s_k)</math>，<math>p_{s_k \rightarrow A_i} = p(s^{(t)} \in A_i | s^{(t-1)} = s_k)</math>+ − − 对于任意一对<math>A_i, A_j</math>，每一个属于<math>A_i</math>的状态<math>s_k</math>的<math>p_{s_k \rightarrow A_j}</math>都是一样的，即 {{NumBlk|:| − + − +
→马尔科夫链的简化
除了这些基本保证之外，我们通常还要求对转移矩阵的粗粒化操作应该与转移矩阵是可交换的，这一条件能够保证经过粗粒化后的状态向量再经过粗粒化的转移矩阵（相当于宏观动力学）的一步演化，是等价于先对状态向量进行一步转移矩阵演化（相当于微观动力学），之后再进行粗粒化的。这就同时为状态分组（状态的粗粒化过程）以及转移矩阵的粗粒化过程提出了要求。这一可交换性的要求，就导致人们提出了[[马尔科夫链可聚类性]]的要求。
除了这些基本保证之外，我们通常还要求对转移矩阵的粗粒化操作应该与转移矩阵是可交换的，这一条件能够保证经过粗粒化后的状态向量再经过粗粒化的转移矩阵（相当于宏观动力学）的一步演化，是等价于先对状态向量进行一步转移矩阵演化（相当于微观动力学），之后再进行粗粒化的。这就同时为状态分组（状态的粗粒化过程）以及转移矩阵的粗粒化过程提出了要求。这一可交换性的要求，就导致人们提出了[[马尔科夫链可聚类性]]的要求。
针对任意的状态硬划分，我们可以定义所谓的可聚类性（lumpability）的概念。可聚类性（Lumpability）是一种对聚类的衡量，这个概念最早出现在Kemeny, Snell在1969年的有限马尔科夫链（Finite Markov Chains）<ref name=":33">Kemeny, John G., and J. Laurie Snell. ''Finite markov chains''. Vol. 26. Princeton, NJ: van Nostrand, 1969. https://www.math.pku.edu.cn/teachers/yaoy/Fall2011/Kemeny-Snell_Chapter6.3-4.pdf</ref>中。可聚类性（Lumpability）就是一个数学条件，用来判断“对于某一种硬分块的微观状态分组方案，是否对微观状态转移矩阵是可约简的”。不管状态空间按照哪一个硬分块方案做分类，它都有对应后续的对转移矩阵和概率空间的粗粒化方案<ref>Buchholz, Peter. "Exact and ordinary lumpability in finite Markov chains." ''Journal of applied probability'' 31.1 (1994): 59-75.</ref>。接下来，我们给出正式的定义。
针对任意的状态硬划分，我们可以定义所谓的可聚类性（lumpability）的概念。可聚类性（Lumpability）是一种对聚类的衡量，这个概念最早出现在Kemeny, Snell在1969年的有限马尔科夫链（Finite Markov Chains）<ref name=":33">Kemeny, John G., and J. Laurie Snell. ''Finite markov chains''. Vol. 26. Princeton, NJ: van Nostrand, 1969. https://www.math.pku.edu.cn/teachers/yaoy/Fall2011/Kemeny-Snell_Chapter6.3-4.pdf</ref>中。可聚类性（Lumpability）就是一个数学条件，用来判断“对于某一种硬分块的微观状态分组方案，是否对微观状态转移矩阵是可约简的”。不管状态空间按照哪一个硬分块方案做分类，它都有对应后续的对转移矩阵和概率空间的粗粒化方案<ref>Buchholz, Peter. "Exact and ordinary lumpability in finite Markov chains." ''Journal of applied probability'' 31.1 (1994): 59-75.</ref>。
对于宏观的状态空间'''<math>A</math>''' 给定分组方法'''<math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>''' ，这里[math]A_i[/math]是状态空间'''<math>A</math>''' 的任意一个子集，且满足：[math]A_i\cap A_j= \Phi[/math]，[math]\Phi[/math]表示空集。[math]\displaystyle{ s^{(t)} }[/math]表示系统在[math]\displaystyle{ t }[/math]时刻的微观状态，微观状态空间为[math]\displaystyle{ S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\} }[/math]且'''<math>s_i\inA</math>''' ，则可聚类的充分必要条件为：
设微观状态<math>s_k</math>到<math>s_m</math>的转移概率为<math>p_{s_k \rightarrow s_m} = p(s^{(t)} = s_m | s^{(t-1)} = s_k)</math>，微观状态<math>s_k</math>到宏观状态<math>A_i</math>的转移概率为<math>p_{s_k \rightarrow A_i} = p(s^{(t)} \in A_i | s^{(t-1)} = s_k)</math>，那么对于任意一对<math>A_i, A_j</math>，每一个属于<math>A_i</math>的状态<math>s_k</math>的<math>p_{s_k \rightarrow A_j}</math>都是一样的，即{{NumBlk|:|
<math>
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\begin{aligned}
\begin{aligned}
p_{s_k A_j} = \sum_{s_m \in A_j} p_{s_k s_m} = p_{A_i A_j}, k \in A_i
p_{s_k \rightarrow A_j} = \sum_{s_m \in A_j} p_{s_k \rightarrow s_m} = p_{A_i \rightarrow A_j}, k \in A_i
\end{aligned}
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</math>
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|{{EquationRef|4}}}}这个公式表达的是，群组<math>A_i</math>到群组<math>A_j</math>的转移概率，其等价于群组<math>A_i</math>中任意状态<math>s_k</math>到群组<math>A_j</math>的转移概率和群组<math>i</math>中任意状态<math>s_k</math>到群组<math>A_j</math>中的状态的转移概率的和。满足这一条件的马尔科夫链及其状态划分被称为'''可聚类性'''。
|{{EquationRef|4}}}}满足这一条件的马尔科夫链及其状态划分被称为'''可聚类性'''。
可聚类的马尔科夫矩阵可以被重新排列成几个新的模块，这种可聚类的矩阵的动力学可逆性也会很高，在这种情况下动力学可逆性和可聚类性是一致的。关于具体的粗粒化马尔科夫链的方法，请参考[[马尔科夫链的粗粒化]]。
可聚类的马尔科夫矩阵可以被重新排列成几个新的模块，这种可聚类的矩阵的动力学可逆性也会很高，在这种情况下动力学可逆性和可聚类性是一致的。关于具体的粗粒化马尔科夫链的方法，请参考[[马尔科夫链的粗粒化]]。