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针对任意的状态硬划分，我们可以定义所谓的可聚类性（lumpability）的概念。可聚类性（Lumpability）是一种对聚类的衡量，这个概念最早出现在Kemeny, Snell在1969年的有限马尔科夫链（Finite Markov Chains）<ref name=":33">Kemeny, John G., and J. Laurie Snell. ''Finite markov chains''. Vol. 26. Princeton, NJ: van Nostrand, 1969. https://www.math.pku.edu.cn/teachers/yaoy/Fall2011/Kemeny-Snell_Chapter6.3-4.pdf</ref>中。可聚类性（Lumpability）就是一个数学条件，用来判断“对于某一种硬分块的微观状态分组方案，是否对微观状态转移矩阵是可约简的”。不管状态空间按照哪一个硬分块方案做分类，它都有对应后续的对转移矩阵和概率空间的粗粒化方案<ref>Buchholz, Peter. "Exact and ordinary lumpability in finite Markov chains." ''Journal of applied probability'' 31.1 (1994): 59-75.</ref>。

针对任意的状态硬划分，我们可以定义所谓的可聚类性（lumpability）的概念。可聚类性（Lumpability）是一种对聚类的衡量，这个概念最早出现在Kemeny, Snell在1969年的有限马尔科夫链（Finite Markov Chains）<ref name=":33">Kemeny, John G., and J. Laurie Snell. ''Finite markov chains''. Vol. 26. Princeton, NJ: van Nostrand, 1969. https://www.math.pku.edu.cn/teachers/yaoy/Fall2011/Kemeny-Snell_Chapter6.3-4.pdf</ref>中。可聚类性（Lumpability）就是一个数学条件，用来判断“对于某一种硬分块的微观状态分组方案，是否对微观状态转移矩阵是可约简的”。不管状态空间按照哪一个硬分块方案做分类，它都有对应后续的对转移矩阵和概率空间的粗粒化方案<ref>Buchholz, Peter. "Exact and ordinary lumpability in finite Markov chains." ''Journal of applied probability'' 31.1 (1994): 59-75.</ref>。

对于宏观的状态空间'''<math>A</math>''' 给定分组方法'''<math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>''' ，这里[math]A_i[/math]是状态空间'''<math>A</math>''' 的任意一个子集，且满足：[math]A_i\cap A_j= \Phi[/math]，[math]\Phi[/math]表示空集。[math]\displaystyle{ s^{(t)} }[/math]表示系统在[math]\displaystyle{ t }[/math]时刻的微观状态，微观状态空间为[math]\displaystyle{ S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\} }[/math]且'''<math>s_i\in A</math>'''，设微观状态<math>s_k</math>到<math>s_m</math>的转移概率为<math>p_{s_k \rightarrow s_m} = p(s^{(t)} = s_m | s^{(t-1)} = s_k)</math>，微观状态<math>s_k</math>到宏观状态<math>A_i</math>的转移概率为<math>p_{s_k \rightarrow A_i} = p(s^{(t)} \in A_i | s^{(t-1)} = s_k)</math>，则可聚类的充分必要条件为，对于任意一对<math>A_i, A_j</math>，每一个属于<math>A_i</math>的状态<math>s_k</math>的<math>p_{s_k \rightarrow A_j}</math>都是一样的，即{{NumBlk|:|

假设对马尔科夫状态空间'''<math>A</math>''' 给定了分组方法'''<math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>''' ，这里[math]A_i[/math]是状态空间'''<math>A</math>''' 的任意一个子集，且满足[math]A_i\cap A_j= \Phi[/math]，[math]\Phi[/math]表示空集。马尔科夫状态空间中的独立元素[math]\displaystyle{ s^{(t)} }[/math]表示系统在[math]\displaystyle{ t }[/math]时刻的微观状态，微观状态空间为[math]\displaystyle{ S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\} }[/math]且'''<math>s_i\in A</math>'''，设微观状态<math>s_k</math>到<math>s_m</math>的转移概率为<math>p_{s_k \rightarrow s_m} = p(s^{(t)} = s_m | s^{(t-1)} = s_k)</math>，微观状态<math>s_k</math>到宏观状态<math>A_i</math>的转移概率为<math>p_{s_k \rightarrow A_i} = p(s^{(t)} \in A_i | s^{(t-1)} = s_k)</math>，则可聚类的充分必要条件为，对于任意一对<math>A_i, A_j</math>，每一个属于<math>A_i</math>的状态<math>s_k</math>的<math>p_{s_k \rightarrow A_j}</math>都是一样的，即{{NumBlk|:|

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