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第382行： − 为了说明如何获得简化的TPM，首先定义一个矩阵，称为静态流矩阵，如下所示：+ − + − + − + 第402行：
第404行： − + 第418行：
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第436行： − 如下图所示，关于清晰因果涌现的定义可应用于元胞自动机，以发现其局部涌现结构。在这个例子里刻画了元胞自动机（编号40的基本一维元胞自动机）局部TPM的清晰因果涌现。局部TPM 由包括每个单元及其两个相邻单元的局部窗口获得。图(b) 显示了这些局部 TPM 的奇异值的可能频谱，在这些频谱中可能出现也可能不出现清晰因果涌现。图(c)用红点标记显示了所有单元和时间步长的清晰因果涌现分布（<math>+
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1-q & q
1-q & q
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
</math>，下图(a)和(b)之间的差异显而易见：1）当<math>
</math>，下图(a)表示<math>
\Gamma
</math>随p和q的变化，图(b)表示EI随p和q 的变化。(a)和(b)之间的差异显而易见：1）当<math>
p\approx 1-q
p\approx 1-q
</math>时，<math>\Gamma
</math>时，<math>\Gamma
\Phi</math>和P得到新的TPM。
\Phi</math>和P得到新的TPM。
为了说明如何获得简化的TPM，首先定义一个矩阵，称为平稳流矩阵，如下所示：
<blockquote>
<blockquote>
<math>F_{ij} \equiv \mu_i \cdot P_{ij}, \, \forall i,j \in [1, N],
<math>F_{ij} \equiv \mu_i \cdot P_{ij}, \, \forall i,j \in [1, N],
</math>
</math>
</blockquote>
</blockquote>
其中，<math>\mu</math>是P的静态分布，满足<math>P\cdot\mu=\mu</math>。
其中，<math>\mu</math>是P的平稳分布，满足<math>P\cdot\mu=\mu</math>。
其次，我们将根据 <math>\Phi</math>和<math>F</math>推导出缩减流矩阵：
其次，我们将根据 <math>\Phi</math>和<math>F</math>推导出简化平稳流矩阵：
<blockquote>
<blockquote>
<math>F' = \Phi^T \cdot F \cdot \Phi,
<math>F' = \Phi^T \cdot F \cdot \Phi,
</math>
</math>
</blockquote>
</blockquote>
其中，F'是还原静态流量矩阵。最后，粗粒化后的TPM可直接通过以下公式得出：
其中，F'是简化平稳流矩阵。最后，粗粒化后的TPM可直接通过以下公式得出：
<blockquote>
<blockquote>
<math>P'_i = F'_i / \sum_{j=1}^{N} (F'_i)_j, \, \forall i \in [1, N].
<math>P'_i = F'_i / \sum_{j=1}^{N} (F'_i)_j, \, \forall i \in [1, N].
下面基于Hoel等人的论文<ref name="Hoel2013">Hoel, E.P., Albantakis, L., Tononi, G.: Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 110(49), 19790–19795 (2013) https://doi.org/10.1073/ pnas.1314922110</ref><ref name="Hoel2017">Hoel, E.P.: When the map is better than the territory. Entropy 19(5) (2017) https://doi.org/10.3390/e19050188</ref>中提出的几种布尔网络马尔可夫动力学来测试清晰和模糊因果涌现的定义。
下面基于Hoel等人的论文<ref name="Hoel2013">Hoel, E.P., Albantakis, L., Tononi, G.: Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 110(49), 19790–19795 (2013) https://doi.org/10.1073/ pnas.1314922110</ref><ref name="Hoel2017">Hoel, E.P.: When the map is better than the territory. Entropy 19(5) (2017) https://doi.org/10.3390/e19050188</ref>中提出的几种布尔网络马尔可夫动力学来测试清晰和模糊因果涌现的定义。
下图(a)-(i)分别显示了从具有相同节点机制的相同布尔网络模型生成的用于清晰因果涌现和模糊因果涌现的TPM的两个示例。图(d)中的TPM直接源自图(a)和(b)中的布尔网络及其节点机制。它们的奇异值谱分别如图(e)和(h)所示。(d)中的例子只有4个非零奇异值，奇异频谱如图(e)所示，因此，出现明显的因果涌现，且因果涌现的程度为<math>
下图(a)-(i)分别显示了从具有相同节点机制的相同布尔网络模型生成的用于清晰因果涌现和模糊因果涌现的TPM的两个示例。图(c) 表示粗粒化(a)之后布尔网络，粗粒化策略是从 (f) 和 (i) 的 TPM 中提取的。图(d)中的TPM直接源自图(a)和(b)中的布尔网络及其节点机制。它们的奇异值谱分别如图(e)和(h)所示。(d)中的例子只有4个非零奇异值，奇异频谱如图(e)所示，因此，出现明显的因果涌现，且因果涌现的程度为<math>
\Delta\Gamma=0.75
\Delta\Gamma=0.75
</math>。 因果涌现的判断与参考文献<ref name="Hoel2013" />相同。(f) 和 (i) 分别是对 (d) 和 (g) 中的原始 TPM 应用粗粒化方法后缩减的TPM和投影矩阵。
</math>。 因果涌现的判断与参考文献<ref name="Hoel2013" />相同。(f) 和 (i) 分别是对 (d) 和 (g) 中的原始 TPM 应用粗粒化方法后缩减的TPM和投影矩阵。
[[文件:截屏2024-08-27_14.58.17.png|替代=|740x740像素]]
[[文件:截屏2024-08-27_14.58.17.png|替代=|740x740像素]]
下图显示了另一个更复杂的布尔网络模型的明显因果涌现例子，该模型来自参考文献<ref name="Hoel2013" />，其中具有相同节点机制的6个节点可归类为3个超级节点，以显示因果涌现。原始布尔网络模型的相应TPM如图(c)所示。奇异值频谱如图(d）所示，其中有8个非零值。这个清晰因果涌现的程度为<math>
下图显示了另一个更复杂的布尔网络模型的明显因果涌现例子，该模型来自参考文献<ref name="Hoel2013" />，其中具有相同节点机制的6个节点可归类为3个超级节点，以显示因果涌现。(a)为6节点12边的布尔网络模型。 (b)是根据(e)中的TPM得出的粗粒化后的布尔网络模型。原始布尔网络模型的相应TPM如图(c)所示。奇异值频谱如图(d）所示，其中有8个非零值。这个清晰因果涌现的程度为<math>
\Delta\Gamma=2.23
\Delta\Gamma=2.23
</math>。对因果涌现的判断与<ref name="Hoel2013" />相同。(e) 是对(c)的粗粒化。(f) 是根据基于 SVD 的粗粒化方法得到的从微观状态到宏观状态的投影矩阵。
</math>。对因果涌现的判断与<ref name="Hoel2013" />相同。(e) 是对(c)的粗粒化。(f) 是根据基于 SVD 的粗粒化方法得到的从微观状态到宏观状态的投影矩阵。
==元胞自动机==
==元胞自动机==
如下图所示，关于清晰因果涌现的定义可应用于元胞自动机，以发现其局部涌现结构。在这个例子里刻画了元胞自动机（编号40的基本一维元胞自动机）局部TPM的清晰因果涌现。(a)是第40号元胞自动机的演化（规则是：000 → 0, 001 → 0, 010 → 1, 011 → 0, 100 → 1, 101 → 0, 110 → 0, 111 → 0）。局部TPM 由包括每个单元及其两个相邻单元的局部窗口获得。图(b) 显示了这些局部 TPM 的奇异值的可能频谱，在这些频谱中可能出现也可能不出现清晰因果涌现。图(c)用红点标记显示了所有单元和时间步长的清晰因果涌现分布（<math>
\Delta\Gamma</math>）。
\Delta\Gamma</math>）。