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===定义有效信息===  

===定义有效信息===  

对于一般的N个状态的马尔科夫链，其概率转移矩阵为：[math]P[/math]，则其有效信息可以由下式计算：

对于一般的N个状态的马尔科夫链，其概率转移矩阵为：[math]P[/math]，则其有效信息可以由下式计算(参见[[有效信息]])：

<math>

<math>

</math>

</math>

这里，[math]P_i[/math]为P的第i个行向量，[math]\cdot[/math]为向量的内积，且[math]\bar{P}=\sum_{i=1}^N P_i/N[/math]为P的所有行向量求平均得到的平均向量。根据上式，EI可以分为两项，刚好对应两种计算下的[[Shannon信息熵]]，即[math]-\langle H(P_i)\rangle[/math]，它描述了P的确定性；还有[math]H(\bar{P})[/math]，它刻画了P的非简并性。

这里，[math]P_i[/math]为P的第i个行向量，[math]\bar{P}=\sum_{i=1}^N P_i/N[/math]为P的所有行向量求平均得到的平均向量。根据上式，EI可以分为两项，刚好对应两种计算下的[[Shannon信息熵]]，即[math]-\langle H(P_i)\rangle[/math]，它描述了P的确定性；还有[math]H(\bar{P})[/math]，它刻画了P的非简并性。

下面，我们把这个公式套用到复杂网络上的随机游走子定义的马尔科夫链上：

下面，我们把这个公式套用到复杂网络上的随机游走子定义的马尔科夫链上：

除此之外，{{EquationNote|1}}式还可以用有效信息的原始定义来理解。在初始时刻，我们假设随机子的初始状态分布为：

除此之外，{{EquationNote|1}}式还可以用有效信息的原始定义来理解。在初始时刻，我们假设随机子的初始状态分布为：

<math>

<math>

(1/N,1/N,\cdots,1/N),

S_0=(1/N,1/N,\cdots,1/N),

</math>

</math>

这相当于游走子会等概率地分布在所有网络节点上，这种初始分布相当于我们对随机游走子的初始分布进行了[[do干预]]，把该分布干预为了[[均匀分布]]。计算在这个do干预下的前后两状态的[[互信息]]，我们同样可以得到{{EquationNote|1}}式。

这相当于游走子会等概率地分布在所有网络节点上，这种初始分布相当于我们对随机游走子的初始分布进行了[[do干预]]，把该分布干预为了[[均匀分布]]。计算在这个do干预下的t=1时刻和初始时刻两状态分布的[[互信息]]，我们同样可以得到{{EquationNote|1}}式。

{{EquationNote|1}}式表示任意复杂网络G的有效信息的定义式。

{{EquationNote|1}}式表示任意复杂网络G的有效信息的定义式。