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====谱分解方法====

====谱分解方法====

输入：原始网络<math>A</math>和距离超参<math>\epsilon</math>；输出：宏观网络<math>B</math>以及对应的粗粒化方式

输入：原始包含N个节点的网络[math]G[/math]，及对应的邻接矩阵<math>A</math>和距离超参<math>\epsilon</math>；输出：粗粒化后的宏观网络[math]G'[/math]，其节点数为[math]N'[/math]，及对应的邻接矩阵<math>B</math>，以及从[math]A[/math]到[math]B[/math]的粗粒化方式

# 针对一个含有<math>N</math>个节点的网络<math>A</math>，得到其[[转移矩阵]]<math>W</math>，然后进行矩阵的[[特征值分解]]，得到特征值集合<math>Λ=\{λ_i\}^N_{i=1}</math>与特征向量集合<math>E=\{e_i\}^N_{i=1}</math>，通过去除特征值为0的特征向量并且通过特征值对对应的特征向量进行加权，构建新的有偏的特征向量<math>E’=\{λ_ie_i|λ_i≠0\}^N_{i=1}</math>（新的网络节点数量为<math>N'</math>），直观地说，忽略特征值为0的特征向量是有意义的，因为它对应网络中的简并性，并且非零特征值和相应的特征向量包含了丰富的网络拓扑结构信息

# 针对邻接矩阵<math>A</math>，得到其[[转移矩阵]]<math>W</math>，然后进行矩阵的[[特征值分解]]，得到特征值集合<math>Λ=\{λ_i\}^N_{i=1}</math>与特征向量集合<math>E=\{e_i\}^N_{i=1}</math>，通过去除特征值为0的特征向量并且通过特征值对对应的特征向量进行加权，构建新的有偏的特征向量集合<math>E’=\{λ_ie_i|λ_i≠0\}^N_{i=1}</math>（新的网络节点数量为<math>N'=rank(A)</math>）。直观地说，忽略特征值为0的特征向量是有意义的，因为它对应网络中的简并性，并且非零特征值和相应的特征向量包含了丰富的网络拓扑结构信息；

# 依据<math>E'</math>计算节点间的距离矩阵<math>D_{N'×N'}</math>：

# 依据<math>E'</math>计算节点间的距离矩阵<math>D_{N'×N'}</math>：

## 如果节点<math>v_i</math>和<math>v_j</math>分别在对方的邻域中（[[马尔可夫毯]]），则使用[[cosine]]通过新的特征向量计算两个节点的相似性作为两者间的距离<math>d_{ij}</math>和<math>d_{ji}</math>

## 如果节点<math>v_i</math>和<math>v_j</math>分别在对方的邻域中，则通过新的特征向量计算两个节点的cos相似性作为两者间的距离<math>d_{ij}</math>和<math>d_{ji}</math>

## 否则将两个节点间的距离设为无穷大∞（可以设个比较大的值，如10000）

## 否则将两个节点间的距离设为无穷大∞（可以设个比较大的值，如10000）

# 基于距离矩阵<math>D_{N'×N'}</math>和一个距离超参<math>\epsilon</math>（需要线性搜索，选择EI最大的参数），使用[[OPTICS]]算法（是一种基于密度的聚类算法，旨在识别数据集中不同密度的聚类结构）进行聚类，输出对应超参<math>\epsilon</math>下的聚类方式，同一类里的节点进行粗粒化作为一个宏观节点，得到宏观网络<math>B</math>

# 基于距离矩阵<math>D_{N'×N'}</math>和一个距离超参<math>\epsilon</math>（需要线性搜索，选择EI最大的参数），使用[[OPTICS]]算法（是一种基于密度的聚类算法，旨在识别数据集中不同密度的聚类结构）进行聚类，输出对应超参<math>\epsilon</math>下的聚类方式，同一类里的节点进行粗粒化作为一个宏观节点，得到宏观网络<math>B</math>