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有一些自然和社会现象非常引人入胜，但也很令人困惑，比如行为简单的蚂蚁可以形成复杂的社会，在没有控制中心的情况下自发产生特异化的社会分工<ref>B. Holldobler and E. O. Wilson. ''The Ants.'' Belknap Press of Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, 1990.</ref>。 在没有领导者引导的情况下成群的鸟以步调一致的队形飞行，成群的鱼以连贯的阵列游动，突然一起转向<ref>C. W. Reynolds. Flocks, herds, and schools: A distributed behavioral model. ''Computer Graphics'', 21:25 – 34, 1987</ref>。经济中商品的最佳定价似乎源于主体遵守当地的商业规则<ref name=":0">E. F. Fama. Efficient capital markets II. ''J.'' ''Finance'', 46:1575 – 1617, 1991</ref>。这些现象中的全局协调是如何出现的？是否有共同的机制引导着这些不同现象的出现？在[[复杂系统 Complex Systems|复杂系统理论]]中把这类许多独立子系统相互作用后产生高度结构化的集体行为的现象称作[[涌现]]。

有一些自然和社会现象非常引人入胜，但也很令人困惑，比如行为简单的蚂蚁可以形成复杂的社会，在没有控制中心的情况下自发产生特异化的社会分工<ref>B. Holldobler and E. O. Wilson. ''The Ants.'' Belknap Press of Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, 1990.</ref>。 在没有领导者引导的情况下成群的鸟以步调一致的队形飞行，成群的鱼以连贯的阵列游动，突然一起转向<ref>C. W. Reynolds. Flocks, herds, and schools: A distributed behavioral model. ''Computer Graphics'', 21:25 – 34, 1987</ref>。经济中商品的最佳定价似乎源于主体遵守当地的商业规则<ref name=":0">E. F. Fama. Efficient capital markets II. ''J.'' ''Finance'', 46:1575 – 1617, 1991</ref>。这些现象中的全局协调是如何出现的？是否有共同的机制引导着这些不同现象的出现？在[[复杂系统 Complex Systems|复杂系统理论]]中把这类许多独立子系统相互作用后产生高度结构化的集体行为的现象称作[[涌现]]。

目前对涌现的研究理论有[[基于有效信息的因果涌现理论]]、[[基于信息分解的因果涌现理论]]、[[基于可逆性的因果涌现理论]]，基于[[转移熵]]的动力学解耦理论<ref>Barnett L, Seth AK. Dynamical independence: discovering emergent macroscopic processes in complex dynamical systems. Physical Review E. 2023 Jul;108(1):014304.</ref>、基于[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]的G-emergence理论<ref>A. K. Seth, Measuring emergence via nonlinear granger causality., in: alife, Vol. 2008, 2008, pp. 545–552.</ref>等等。计算力学是基于统计复杂度对涌现的定量化研究理论，它提出的时间最早，虽然对涌现的的研究方法与上述理论均不同，但有很多研究思路是相似的，它定义的统计复杂度、因果态、斑图重构机器等概念对涌现的研究有很大启发和借鉴意义。

目前对涌现的研究理论有[[基于有效信息的因果涌现理论]]、[[基于信息分解的因果涌现理论]]、[[基于可逆性的因果涌现理论]]，基于[[转移熵]]的动力学解耦理论<ref>Barnett L, Seth AK. Dynamical independence: discovering emergent macroscopic processes in complex dynamical systems. Physical Review E. 2023 Jul;108(1):014304.</ref>、基于[[格兰杰因果关系|格兰杰因果]]的G-emergence理论<ref>A. K. Seth, Measuring emergence via nonlinear granger causality., in: alife, Vol. 2008, 2008, pp. 545–552.</ref>等等。计算力学是基于统计复杂度对涌现的定量化研究理论，它提出的时间最早，虽然对涌现的的研究方法与上述理论均不同，但有很多研究思路是相似的，它定义的统计复杂度、[[因果态]]、斑图重构机器等概念对涌现的研究有很大启发和借鉴意义。

=== 计算力学中的涌现 ===

=== 计算力学中的涌现 ===

==模型的因果态和复杂度==

==模型的因果态和复杂度==

===因果态的定义===

===因果态的定义===

===斑图重构机器===

===斑图重构机器===

前面给出了[[因果态]]的定义，接下来讨论一个智能体是如何从观测到的时间序列数据中，自动地发现因果态呢？为了解决这个问题，计算力学建立了名为斑图重构机器（ϵ-machine）的模型，其中[[因果态]]所对应的划分映射被记为<math>\epsilon</math>。它可以重构测量结果中的序列，去除随机噪声后识别其中的因果态。它的形式化定义可以用公式表示为<math>M=(\mathcal{S},T)</math>，<math>T</math>为状态到状态映射的集合，满足<math>S_{t+1}=TS_t</math>，其中<math>S_t</math>为集合<math>\mathcal{S} </math>中的任意一个因果态，类似于一个宏观态。<math>T_{ij}^{\left ( s \right )}</math>为两个因果态<math>S_i</math>和<math>S_j</math>之间的因果态转移概率映射，<math>T_{ij}^{(s)}\equiv\mathrm{P}(\mathcal{S}'=\mathcal{S}_j,\stackrel{\to}{S}^1=s|\mathcal{S}=\mathcal{S}_i)</math>，<math>T</math>类似于一个粗粒化后的[[宏观动力学]]。每个[math]\displaystyle{ \mathcal{S} }[/math]都对应一个<math>\epsilon</math>映射，它和<math>T</math>函数一起组成一个有序对<math>\left \{ \epsilon,T \right \}</math>。后文“模型的重构”一节中会介绍，智能体的内在模型会根据观测到的新数据，动态更新<math>\epsilon</math>映射和<math>T</math>函数。

前面给出了因果态的定义，接下来讨论一个智能体是如何从观测到的时间序列数据中，自动地发现因果态呢？为了解决这个问题，计算力学建立了名为斑图重构机器（ϵ-machine）的模型，其中[[因果态]]所对应的划分映射被记为<math>\epsilon</math>。它可以重构测量结果中的序列，去除随机噪声后识别其中的因果态。它的形式化定义可以用公式表示为<math>M=(\mathcal{S},T)</math>，<math>T</math>为状态到状态映射的集合，满足<math>S_{t+1}=TS_t</math>，其中<math>S_t</math>为集合<math>\mathcal{S} </math>中的任意一个因果态，类似于一个宏观态。<math>T_{ij}^{\left ( s \right )}</math>为两个因果态<math>S_i</math>和<math>S_j</math>之间的因果态转移概率映射，<math>T_{ij}^{(s)}\equiv\mathrm{P}(\mathcal{S}'=\mathcal{S}_j,\stackrel{\to}{S}^1=s|\mathcal{S}=\mathcal{S}_i)</math>，<math>T</math>类似于一个粗粒化后的[[宏观动力学]]。每个[math]\displaystyle{ \mathcal{S} }[/math]都对应一个<math>\epsilon</math>映射，它和<math>T</math>函数一起组成一个有序对<math>\left \{ \epsilon,T \right \}</math>。后文“模型的重构”一节中会介绍，智能体的内在模型会根据观测到的新数据，动态更新<math>\epsilon</math>映射和<math>T</math>函数。

=== '''统计复杂度''' ===

=== '''统计复杂度''' ===