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在这个词条里，我们主要讨论Hard partitioning，主要参考的是<ref name=":0">Zhang, Anru, and Mengdi Wang. "Spectral state compression of markov processes." ''IEEE transactions on information theory'' 66.5 (2019): 3202-3231.</ref><ref name=":3" />，对Soft state aggregation感兴趣的朋友可以自行参阅S. P. Singh, T. Jaakkola, and M. I. Jordan, “Reinforcement learning with soft state aggregation"<ref>Singh, Satinder, Tommi Jaakkola, and Michael Jordan. "Reinforcement learning with soft state aggregation." ''Advances in neural information processing systems'' 7 (1994).</ref>和Duan, Yaqi, Tracy Ke, and Mengdi Wang. "State aggregation learning from markov transition data." ''Advances in Neural Information Processing Systems'' 32 (2019).<ref>Duan, Yaqi, Tracy Ke, and Mengdi Wang. "State aggregation learning from markov transition data." ''Advances in Neural Information Processing Systems'' 32 (2019).</ref>
在这个词条里，我们主要讨论Hard partitioning，主要参考的是<ref name=":0">Zhang, Anru, and Mengdi Wang. "Spectral state compression of markov processes." ''IEEE transactions on information theory'' 66.5 (2019): 3202-3231.</ref><ref name=":3" />，对Soft state aggregation感兴趣的朋友可以自行参阅S. P. Singh, T. Jaakkola, and M. I. Jordan, “Reinforcement learning with soft state aggregation"<ref>Singh, Satinder, Tommi Jaakkola, and Michael Jordan. "Reinforcement learning with soft state aggregation." ''Advances in neural information processing systems'' 7 (1994).</ref>和Duan, Yaqi, Tracy Ke, and Mengdi Wang. "State aggregation learning from markov transition data." ''Advances in Neural Information Processing Systems'' 32 (2019).<ref>Duan, Yaqi, Tracy Ke, and Mengdi Wang. "State aggregation learning from markov transition data." ''Advances in Neural Information Processing Systems'' 32 (2019).</ref>
=Lumpability=
=Lumpability=
===最初定义===
===最初定义===
首先定义<math>s^{(t)}</math>表示系统在<math>t</math>时刻的微观状态，微观状态空间为<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>。
首先定义<math>s^{(t)}</math>表示系统在<math>t</math>时刻处于各微观状态的概率，微观状态空间为<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>。
给定一个任意state partition <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>，也可以把其理解为宏观的状态空间。<math>S</math> 和 <math>A</math> 之间的Hard Partition映射关系<math>\Phi:S \rightarrow A</math>为：<math>A_i \in S, A_i \neq \empty, A_i \cap A_j = \empty , \forall i, j, \cup_i A_i = S</math>。这种映射关系是指：<math>A</math>中的每个元素<math>A_i</math>都包括了若干个<math>s_i</math>；<math>A_i</math>和<math>A_j</math>之间没有交集，即每个<math>s_i</math>不会同时属于<math>A_i</math>和<math>A_j</math>；<math>S</math>中的每个元素必须属于某个<math>A</math>的元素，即<math>A</math>覆盖了<math>S</math>。
给定一个任意state partition <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>，也可以把其理解为宏观的状态空间。<math>S</math> 和 <math>A</math> 之间的Hard Partition映射关系<math>\Phi:S \rightarrow A</math>为：<math>A_i \in S, A_i \neq \empty, A_i \cap A_j = \empty , \forall i, j, \cup_i A_i = S</math>。这种映射关系是指：<math>A</math>中的每个元素<math>A_i</math>都包括了若干个<math>s_i</math>；<math>A_i</math>和<math>A_j</math>之间没有交集，即每个<math>s_i</math>不会同时属于<math>A_i</math>和<math>A_j</math>；<math>S</math>中的每个元素必须属于某个<math>A</math>的元素，即<math>A</math>覆盖了<math>S</math>。
在这里，我们考虑的是线性的马尔科夫过程的投影，所以<math>\Phi</math>是一个<math>n \times n</math>的投影矩阵。因此，我们可以定义宏观状态<math>A^{(t)} = s^{(t)} \Phi</math>为微观状态<math>s^{(t)}</math>在宏观空间上的投影。
对于任意state partition <math>A</math>，我们能够定义一个lumped process，即把微观的动力学轨迹<math>s^{(t)}</math>投影到<math>A</math>的空间上。
对于任意state partition <math>A</math>，我们能够定义一个lumped process，即把微观的动力学轨迹<math>s^{(t)}</math>投影到<math>A</math>的空间上。
[[文件:Lumpable矩阵粗粒化示例.png|缩略图|500x500像素|图2：矩阵粗粒化示例]]
[[文件:Lumpable矩阵粗粒化示例.png|缩略图|500x500像素|图2：矩阵粗粒化示例]]
'''''定义1'''''：'''Lumped process'''
'''''定义1'''''：'''Lumped process'''