812
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第26行：
第26行： − + − + − + 第35行：
第35行： − + − + − + 第43行：
第43行： − + − +
无编辑摘要
多数文献中会出现如图1的定义<ref name=":2">Coarse graining. ''Encyclopedia of Mathematics.'' URL: <nowiki>http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Coarse_graining&oldid=16170</nowiki></ref>：
多数文献中会出现如图1的定义<ref name=":2">Coarse graining. ''Encyclopedia of Mathematics.'' URL: <nowiki>http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Coarse_graining&oldid=16170</nowiki></ref>：
[[文件:马尔科夫链粗粒化定义.png|替代=|缩略图|图1：粗粒化定义]]
[[文件:马尔科夫链的粗粒化定义.png|替代=|缩略图|图1：粗粒化定义]]
对状态空间<math>S</math>和转移函数<math>T(t):S \rightarrow S</math>，我们需要一个投影函数<math>R:S \rightarrow S'</math>，和一个新的转移函数<math>T'(t):S' \rightarrow S'</math>，而且<math>S'</math>和<math>T'</math>要符合马尔科夫链定义。
对状态空间<math>S</math>和转移函数<math>P(t):S \rightarrow S</math>，我们需要一个投影函数<math>\Phi:S \rightarrow S'</math>，和一个新的转移函数<math>P'(t):S' \rightarrow S'</math>，而且<math>S'</math>和<math>P'</math>要符合马尔科夫链定义。
我们能看出<math>R</math>是一个对状态空间<math>S</math>的分组函数（得到<math>S'</math>）。而且，我们还需要把<math>T</math>降维成<math>T'</math>。
我们能看出<math>\Phi</math>是一个对状态空间<math>S</math>的分组函数（得到<math>S'</math>）。而且，我们还需要把<math>P</math>降维成<math>P'</math>。
如果我们对这个降维/粗粒化过程进行分解的话，我们可以看到这个过程可以被分为三步。
如果我们对这个降维/粗粒化过程进行分解的话，我们可以看到这个过程可以被分为三步。
# 对状态空间进行粗粒化：对状态进行分组，决定<math>S</math>空间中的状态要如何被投影到<math>S'</math>空间上，也就是得出<math>R</math>。
# 对状态空间进行粗粒化：对状态进行分组，决定<math>S</math>空间中的状态要如何被投影到<math>S'</math>空间上，也就是得出<math>\Phi</math>。
# 对转移概率进行粗粒化：基于分组函数<math>R</math>，我们要决定如何把原来的状态转移矩阵<math>T</math>降维成新的<math>T'</math>。
# 对转移概率进行粗粒化：基于分组函数<math>\Phi</math>，我们要决定如何把原来的状态转移矩阵<math>P</math>降维成新的<math>P'</math>。
# 判断粗粒化方案<math>R</math>和<math>T'</math>符合什么样的性质。
# 判断粗粒化方案<math>\Phi</math>和<math>P'</math>符合什么样的性质。
本词条只讨论离散时间马尔科夫链，且动力学不随时间变化的情况，不讨论连续马尔科夫过程。我们可以定义微观状态空间为<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>，微观转移函数<math>P \in \mathcal{R}_{n \times n}</math>是一个大小为n的马尔科夫矩阵。同样的，粗粒化后的宏观状态空间为<math>S'=\{s'_1, s'_2, ... ,s'_r\}</math>，宏观转移函数<math>P' \in \mathcal{R}_{r \times r}</math>。
本词条只讨论离散时间马尔科夫链，且动力学不随时间变化的情况，不讨论连续马尔科夫过程。我们可以定义微观状态空间为<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>，微观转移函数<math>P \in \mathcal{R}_{n \times n}</math>是一个大小为n的马尔科夫矩阵。同样的，粗粒化后的宏观状态空间为<math>S'=\{s'_1, s'_2, ... ,s'_r\}</math>，宏观转移函数<math>P' \in \mathcal{R}_{r \times r}</math>。
我们假设投影函数<math>R</math>是一个<math>n \times r</math>的线性投影矩阵，且符合下列两个条件(1)所有元素非负(2)每行加和等于1。
我们假设投影函数<math>\Phi</math>是一个<math>n \times r</math>的线性投影矩阵，且符合下列两个条件(1)所有元素非负(2)每行加和等于1。
如果<math>T:s_{t+1} = s_{t} P</math>，<math>P</math>为离散马尔科夫矩阵的话，这个针对马尔科夫矩阵的降维可以表示为
如果<math>P:s_{t+1} = s_{t} P</math>，<math>P</math>为离散马尔科夫矩阵的话，这个针对马尔科夫矩阵的降维可以表示为
{{NumBlk|:|
{{NumBlk|:|