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我们假设投影函数<math>\Phi</math>是一个<math>n \times r</math>的线性投影矩阵，且符合下列两个条件(1)所有元素非负(2)每行加和等于1。

我们假设投影函数<math>\Phi</math>是一个<math>n \times r</math>的线性投影矩阵，且符合下列两个条件(1)所有元素非负(2)每行加和等于1。

如果<math>P:s_{t+1} = s_{t} P</math>，<math>P</math>为离散马尔科夫矩阵的话，这个针对马尔科夫矩阵的降维可以表示为

 

 

得出<math>\Phi</math>后，对微观马尔科夫矩阵<math>P</math>的降维可以表示为

{{NumBlk|:|

{{NumBlk|:|

<math>

<math>

\begin{aligned}

\begin{aligned}

P' = W P V,

P' = W P \Phi,

\end{aligned}

\end{aligned}

</math>

</math>

|{{EquationRef|1}}}}

|{{EquationRef|1}}}}

其中<math>P \in \mathbb{R}^{n \times n}</math>，<math>P' \in \mathbb{R}^{k \times k}</math>，<math>W \in \mathbb{R}^{k \times n}</math>，<math>V \in \mathbb{R}^{n \times k}</math>。Buchholz<ref name=":1">Buchholz, Peter. "Exact and ordinary lumpability in finite Markov chains." ''Journal of applied probability'' 31.1 (1994): 59-75.</ref>的文章中把<math>W</math>称作distributor matrix，而<math>V</math>称作collector matrix。

其中<math>W \in \mathbb{R}^{r \times n}</math>。Buchholz<ref name=":1">Buchholz, Peter. "Exact and ordinary lumpability in finite Markov chains." ''Journal of applied probability'' 31.1 (1994): 59-75.</ref>的文章中把<math>W</math>称作distributor matrix，而<math>\Phi \in \mathbb{R}^{n \times r}</math>称作collector matrix。

马尔科夫链的粗粒化可以分成硬划分(Hard partitioning)和软划分(Soft partitioning)。硬划分是指把若干个微观状态分成一个宏观状态类，且一个微观状态不能同时属于多个宏观状态类，而软划分则会有可能出现一个微观状态被分在属于多个宏观类的情况。

马尔科夫链的粗粒化可以分成硬划分(Hard partitioning)和软划分(Soft partitioning)。硬划分是指把若干个微观状态分成一个宏观状态类，且一个微观状态不能同时属于多个宏观状态类，而软划分则会有可能出现一个微观状态被分在属于多个宏观类的情况。

在硬分类的情况下，<math>V_{i, j} = 1\ if\ s_i \in s_j'\ and\ 0\ otherwise</math><ref name=":1" />，即一个表示<math>i</math>属于<math>j</math>列的零一分组矩阵。如果是软分类的话，<math>V</math>则不一定会是零一矩阵。

在硬划分的情况下，<math>\Phi_{i, j} = 1\ if\ s_i \in s_j'\ and\ 0\ otherwise</math><ref name=":1" />，即一个表示<math>i</math>属于<math>j</math>列的零一分组矩阵。如果是软划分的话，<math>\Phi</math>则不一定会是零一矩阵。

而

而

<math>

<math>

\begin{aligned}

\begin{aligned}

W = D^{-1}(V)^T, D = diag(\alpha V),

W = D^{-1}(\Phi)^T, D = diag(\alpha \Phi),

\end{aligned}

\end{aligned}

</math>

</math>

其中<math>\alpha</math>是一个非负对角矩阵。

其中<math>\alpha</math>是一个非负对角矩阵。

所以，我们能看到，对马尔科夫链做粗粒化的时候，不仅要对状态空间做降维(<math>R</math>)，还要对马尔科夫矩阵都要做降维(<math>V</math>)，当中也包含了对概率空间的降维(<math>W</math>)。

所以，我们能看到，对马尔科夫链做粗粒化的时候，不仅要对状态空间做降维(<math>\Phi</math>)，还要对马尔科夫矩阵都要做降维，当中也包含了对概率空间的降维(<math>W</math>)。

而且，有资料中还提到了粗粒化的交换律commutative<ref name=":2" />。按照上面的定义，<math>s^{(t)}</math>有两个路径能达到<math>s'^{(t+1)}</math>：

而且，有资料中还提到了粗粒化的交换律commutative<ref name=":2" />。按照上面的定义，<math>s^{(t)}</math>有两个路径能达到<math>s'^{(t+1)}</math>：

#先得到下一步的<math>s^{(t+1)} = s^{(t)} P</math>，再做粗粒化得到<math>s'^{(t+1)} = R(s^{(t+1)})</math>

#先得到下一步的<math>s^{(t+1)} = s^{(t)} P</math>，再做粗粒化得到<math>s'^{(t+1)} = s^{(t+1)} \Phi </math>

# 先做粗粒化得到<math>s'^{(t)} = R(s^{(t)})</math>，再得到下一步的<math>s'^{(t+1)} = s'^{(t)} P'</math>

# 先做粗粒化得到<math>s'^{(t)} = (s^{(t)}\Phi </math>，再得到下一步的<math>s'^{(t+1)} = s'^{(t)} P'</math>

而交换律则要求从这两条路径得到的结果应该是一样的，即<math> R(s_{t} P) = R(s_{t}) P'</math>。

而交换律则要求从这两条路径得到的结果应该是一样的，即<math> s_{t} P \Phi  = s_{t} \Phi  P'</math>。