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==转移概率矩阵的特征值==
===转移概率矩阵的特征值===
下面考察<math>P</math>的特征值，由于<math>P</math>的行和为<math>1</math>，那么
下面考察<math>P</math>的特征值，由于<math>P</math>的行和为<math>1</math>，那么
<math>P\mathbf{1}=\begin{bmatrix}
<math>P\mathbf{1}=\begin{bmatrix}
p_{11}& p_{12}&\ldots\\
p_{11}& p_{12}&\ldots\\
\vdots\\
\vdots\\
\end{bmatrix}=\mathbf{1}.</math>
\end{bmatrix}=\mathbf{1}.</math>
即<math>1</math>是<math>P</math>的特征值，且对应的特征向量为</math>\mathbf{1}</math>。另一方面，
即<math>1</math>是<math>P</math>的特征值，且对应的特征向量为</math>\mathbf{1}</math>。
另一方面，
<math>det(P-\lambda I)=det((P-\lambda I)^{\rm T})=det(P^{\rm T}-\lambda I).</math>
<math>det(P-\lambda I)=det((P-\lambda I)^{\rm T})=det(P^{\rm T}-\lambda I).</math>
所以，<math>1</math>也是<math>P^{\rm T}</math>的特征值。
所以，<math>1</math>也是<math>P^{\rm T}</math>的特征值。
注：即方程<math>\pi=\pi P</math>总有非零解，这与马尔可夫链是否有极限没有关系。
注：即方程<math>\pi=\pi P</math>总有非零解，这与马尔可夫链是否有极限没有关系。
进一步，若<math>\pi_0</math>是方程<math>\pi=\pi P</math>的解，那么由递推关系得
进一步，若<math>\pi_0</math>是方程<math>\pi=\pi P</math>的解，那么由递推关系得
<math>\pi_n=\pi_0P^n=\pi P^n=\pi.</math>
<math>\pi_n=\pi_0P^n=\pi P^n=\pi.</math>
即若<math>P(X_0=i)=\pi_0(i)</math>，有<math>\forall\ n,\ P(X_n=i)=\pi_0(i)</math>，称<math>\pi_0</math>为平稳分布。
即若<math>P(X_0=i)=\pi_0(i)</math>，有
<math>\forall\ n,\ P(X_n=i)=\pi_0(i)</math>，
即<math>\pi_0</math>为平稳分布。
进一步，设<math>\lambda</math>为<math>P</math>的任一特征值，对应的特征向量为<math>x=(x_1,x_2,\ldots)^{\rm T}</math>。那么，<math>\lambda</math>也是<math>P^{\rm T}</math>的特征值，且</math>\lambda x^{\rm T}=x^{\rm T}P^{\rm T}</math>，展开得
进一步，设<math>\lambda</math>为<math>P</math>的任一特征值，对应的特征向量为<math>x=(x_1,x_2,\ldots)^{\rm T}</math>。那么，<math>\lambda</math>也是<math>P^{\rm T}</math>的特征值，且</math>\lambda x^{\rm T}=x^{\rm T}P^{\rm T}</math>，展开得
<math>\lambda x_j=\sum_{i}p_{ij}x_i.</math>
<math>\lambda x_j=\sum_{i}p_{ij}x_i.</math>
不失一般性，假设<math>|x_j|=\max_{k}|x_i|</math>，那么
不失一般性，假设
<math>|x_j|=\max_{k}|x_i|</math>，
那么
<math>|\lambda|\cdot|x_j|=\Big|\sum_i p_{ij}x_i\Big|\leq\sum_{i}p_{ij}|x_i|\leq\sum_{i}p_{ij}|x_j|=|x_j|.</math>
<math>|\lambda|\cdot|x_j|=\Big|\sum_i p_{ij}x_i\Big|\leq\sum_{i}p_{ij}|x_i|\leq\sum_{i}p_{ij}|x_j|=|x_j|.</math>
那么，<math>|\lambda|\leq 1</math>。
那么，<math>|\lambda|\leq 1</math>。
注：上述两条性质对于一般的随机矩阵均成立。
注：上述两条性质对于一般的随机矩阵均成立。