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第64行： − − ===细致平衡条件=== − 满足<math>\pi_i P_{ij}=\pi_jP_{ji},</math>称其满足细致平衡条件。 − − 若满足细致平衡条件，则 − − <math>\pi_i=\sum_k\pi_kP_{ki}\iff \pi=\pi P.</math> − − 证：<math>\pi_i=\pi_i\sum_kP_{ik}=\sum_k\pi_iP_{ik}=\sum_k\pi_kP_{ki}.</math> − − 注：<math>\pi_i P_{ij}</math>可以理解为状态<math>i</math>向状态<math>j</math>的输送，同理，<math>\pi_jP_{ji}</math>可以理解为状态<math>j</math>向状态<math>i</math>的输送，那么细致平衡表示状态<math>i</math>与状态<math>j</math>之间的相互输送是相同的， − 第125行：
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无编辑摘要
特别的，当一步转移概率<math>P(X_n=j|X_{n-1}=i)</math>只与状态<math>i,j</math>有关，而与时刻<math>n</math>无关（平稳性假设），称此马尔可夫链为时齐马尔可夫链（homogeneous）；若<math>P(X_n=j|X_{n-1}=i)</math>不仅与状态<math>i,j</math>和时刻<math>n</math>均有关，则称此马尔可夫链为非时齐的。下面主要讨论时齐马尔可夫链。
特别的，当一步转移概率<math>P(X_n=j|X_{n-1}=i)</math>只与状态<math>i,j</math>有关，而与时刻<math>n</math>无关（平稳性假设），称此马尔可夫链为时齐马尔可夫链（homogeneous）；若<math>P(X_n=j|X_{n-1}=i)</math>不仅与状态<math>i,j</math>和时刻<math>n</math>均有关，则称此马尔可夫链为非时齐的。下面主要讨论时齐马尔可夫链。
===转移概率矩阵===
===转移概率矩阵===
一般的，称满足上述性质的矩阵为随机矩阵（stochastic matrix）。
一般的，称满足上述性质的矩阵为随机矩阵（stochastic matrix）。
===演化过程===
===演化过程===
这是一个一阶线性齐次常微分方程。由递推关系，自然地会联想到，这个系统的长期行为本质上是一个特征值问题。
这是一个一阶线性齐次常微分方程。由递推关系，自然地会联想到，这个系统的长期行为本质上是一个特征值问题。
<math>|x_j|=\max_{k}|x_i|</math>，
<math>|x_j|=\max_{k}|x_i|</math>，
===细致平衡条件===
满足<math>\pi_i P_{ij}=\pi_jP_{ji},</math>称其满足细致平衡条件。
若满足细致平衡条件，则
<math>\pi_i=\sum_k\pi_kP_{ki}\iff \pi=\pi P.</math>
证：<math>\pi_i=\pi_i\sum_kP_{ik}=\sum_k\pi_iP_{ik}=\sum_k\pi_kP_{ki}.</math>
注：<math>\pi_i P_{ij}</math>可以理解为状态<math>i</math>向状态<math>j</math>的输送，同理，<math>\pi_jP_{ji}</math>可以理解为状态<math>j</math>向状态<math>i</math>的输送，那么细致平衡表示状态<math>i</math>与状态<math>j</math>之间的相互输送是相同的，
有
有