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<math>\lambda x_j=\sum_{i}p_{ij}x_i.</math>
<math>\lambda x_j=\sum_{i}p_{ij}x_i.</math>
不失一般性，假设
不失一般性，假设<math>|x_j|=\max_{k}|x_i|</math>，有
<math>|x_j|=\max_{k}|x_i|</math>，
<math>|\lambda|\cdot|x_j|=\Big|\sum_i p_{ij}x_i\Big|\leq\sum_{i}p_{ij}|x_i|\leq\sum_{i}p_{ij}|x_j|=|x_j|.</math>
那么，<math>|\lambda|\leq 1</math>。
注：上述两条性质对于一般的随机矩阵均成立。
注：<math>\pi_i P_{ij}</math>可以理解为状态<math>i</math>向状态<math>j</math>的输送，同理，<math>\pi_jP_{ji}</math>可以理解为状态<math>j</math>向状态<math>i</math>的输送，那么细致平衡表示状态<math>i</math>与状态<math>j</math>之间的相互输送是相同的，
注：<math>\pi_i P_{ij}</math>可以理解为状态<math>i</math>向状态<math>j</math>的输送，同理，<math>\pi_jP_{ji}</math>可以理解为状态<math>j</math>向状态<math>i</math>的输送，那么细致平衡表示状态<math>i</math>与状态<math>j</math>之间的相互输送是相同的，