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2013年，Erik Hoel等人首次提出了[[因果涌现]]理论<ref name=":1" />，并使用[[有效信息]]（Effective Information, EI）来量化[[离散马尔科夫动力学系统]]的因果性强弱。2020年Klein等人尝试将因果涌现理论拓展到[[复杂网络]]<ref name=":0" />上。这一扩展的主要思路为将复杂网络转变为一个马尔科夫链，从而可以直接应用Erik Hoel等人的原始方法来判断因果涌现。具体地，Klein等人的方法包括如下几个步骤：

2013年，Erik Hoel等人首次提出了[[因果涌现]]理论<ref name=":1" />，并使用[[有效信息]]（Effective Information, EI）来量化[[离散马尔科夫动力学系统]]的因果性强弱。2020年Klein等人尝试将因果涌现理论拓展到[[复杂网络]]<ref name=":0" />上。这一扩展的主要思路为将复杂网络转变为一个马尔科夫链，从而可以直接应用Erik Hoel等人的原始方法来判断因果涌现。具体地，Klein等人的方法包括如下几个步骤：

# 定义复杂网络上的动力学：引入随机游走子（Random Walker），该随机游走子可以沿着网络的连边随机跳转，从而构建该随机游走子的马尔科夫链（其中随机游走子的所有可能状态对应为复杂网络上的不同节点，而状态间的转移概率数值可以定义为每条有向连边的权值占该节点所有出边的权重之和的比例）；

# 定义复杂网络上的动力学：引入随机游走子（Random Walker），该随机游走子可以沿着网络的连边随机跳转，从而构建该随机游走子的马尔科夫链（其中随机游走子的所有可能状态对应为复杂网络上的所有节点，而状态间的转移概率数值可以定义为每条有向连边的权值占比，即该边上的权重占该节点所有出边的权重的比例）；

# 定义复杂网络上的[[有效信息]]：基于随机游走子的概率转移矩阵计算[[有效信息]]，如此便可以将原本刻画马尔科夫链的有效信息指标扩展到复杂网络上；

# 定义复杂网络上的[[有效信息]]：基于随机游走子的概率转移矩阵计算[[有效信息]]，如此便可以将原本刻画马尔科夫链的有效信息指标扩展到复杂网络上；

# 粗粒化复杂网络（即将所有网络上的节点进行分组，转化为一系列宏观节点，并将连边也进行归并）得到宏观的复杂网络，并保证该转化后的网络满足'''动力学的一致性'''，即保证粗粒化完以后的网络具有与原始网络相似的随机游走动力学；

# 粗粒化复杂网络（即将所有网络上的节点进行分组，转化为一系列宏观节点，并将连边也进行归并）得到宏观的复杂网络，并保证该转化后的网络满足'''动力学一致性'''，即保证粗粒化完以后的网络具有与原始网络相似的随机游走动力学；

# 对比微观网络和粗粒化后的宏观网络的[[有效信息]]，判断因果涌现是否发生，并计算因果涌现强度数值。

# 对比微观网络和粗粒化后的宏观网络的[[有效信息]]，判断因果涌现是否发生，并计算因果涌现强度数值。