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这里的'Strong'是与下面的'weak'相对的概念，指上文的lumped process满足对任意初始状态分布都保持一致的条件。
这里的'Strong'是与下面的'weak'相对的概念，指上文的lumped process满足对任意初始状态分布都保持一致的条件。
简单的例子：
<math>
\begin{aligned}
P = P_{s_i \rightarrow s_j} = \left [
\begin{array}{cc:cc}
0.2 & 0.4 & 0.3 & 0.1 \\
0.4 & 0.2 & 0.1 & 0.3 \\
\hdashline0.2 & 0.1 & 0.2 & 0.5 \\
0.1 & 0.2 & 0 & 0.7
\end{array}
\right ]
\end{aligned}
</math>
此例子中，<math>[[1, 2], [3, 4]]</math>是一个strongly lumpable分组。
简单的例子：
简单的例子：
<math>
\begin{aligned}
P = P_{s_i \rightarrow s_j} = \left [
\begin{array}{cc:cc}
0.6 & 0.4 & 0.0 & 0.0 \\
0.3 & 0.7 & 0.0 & 0.0 \\
\hdashline
0.2 & 0.1 & 0.2 & 0.5 \\
0.6 & 0.1 & 0.1 & 0.1
\end{array}
\right ]
\end{aligned}
</math>
此例子中，<math>[[1, 2], [3], [4]]</math>是一个strongly lumpable分组,而<math>[[1, 2], [3, 4]]</math>是一个weakly lumpable分组,
而在exact lumpability中，<math>P</math>分组内的每一列的加总是一样的，也就是说，同一组中的每个状态从另一个分组的转入概率是相同的。
而在exact lumpability中，<math>P</math>分组内的每一列的加总是一样的，也就是说，同一组中的每个状态从另一个分组的转入概率是相同的。
在xxx中给出的正式定义是，<math>P</math>的'''转置'''经过行归一化是strong lumpable的。
在xxx中给出的正式定义是，<math>P</math>的'''转置'''经过'''行归一化'''是strong lumpable的。
另外，xxx说明了exactly lumpable的<math>P</math>也是weakly lunpable的。
另外，xxx说明了exactly lumpable的<math>P</math>也是weakly lunpable的。
在Strong lumpability例子中，<math>[[1, 2], [3, 4]]</math>是一个strongly lumpable分组,但不是一个exactly lumpable分组。
我们再举一个例子：
<math>
\begin{aligned}
P = P_{s_i \rightarrow s_j} = \left [
\begin{array}{cc:cc}
0.1 & 0.1 & 0.4 & 0.4 \\
0.4 & 0.4 & 0.1 & 0.1 \\
\hdashline
0.3 & 0.3 & 0.2 & 0.2 \\
0.2 & 0.2 & 0.3 & 0.3
\end{array}
\right ]
\end{aligned}
</math>
此例子中，<math>[[1, 2], [3, 4]]</math>不是一个strongly lumpable分组,但是一个exactly lumpable分组,
Strict lumpability是指一个马尔可夫链同时满足strong和exact lumpability，也就是说，同一组中的每个状态不仅从另一个分组的转入概率相等，而且到另一个分组的转出概率也相等。
Strict lumpability是指一个马尔可夫链同时满足strong和exact lumpability，也就是说，同一组中的每个状态不仅从另一个分组的转入概率相等，而且到另一个分组的转出概率也相等。
简单的例子：
<math>
\begin{aligned}
P = P_{s_i \rightarrow s_j} = \left [
\begin{array}{cc:cc}
0.4 & 0.2 & 0.1 & 0.3 \\
0.2 & 0.4 & 0.3 & 0.1 \\
\hdashline
0.1 & 0.3 & 0.4 & 0.2 \\
0.3 & 0.1 & 0.2 & 0.4
\end{array}
\right ]
\end{aligned}
</math>
此例子中，<math>[[1, 2], [3, 4]]</math>既是一个strongly lumpable分组,又是一个exactly lumpable分组。
如果一个 <math>P</math>可以被分解为<math>P = P^- + P^{\epsilon}</math>，其中<math>P^-</math>是一个lumpable的矩阵，而<math>P^{\epsilon}</math>中的每个元素都小于<math>\epsilon</math>，<math>P</math>就是一个<math>\epsilon</math>-quasi-lumpable的矩阵。
如果一个 <math>P</math>可以被分解为<math>P = P^- + P^{\epsilon}</math>，其中<math>P^-</math>是一个lumpable的矩阵，而<math>P^{\epsilon}</math>中的每个元素都小于<math>\epsilon</math>，<math>P</math>就是一个<math>\epsilon</math>-quasi-lumpable的矩阵。
比如说，我们对上面的strict lumpability例子加上一点扰动：
<math>
\begin{aligned}
P = P_{s_i \rightarrow s_j} = \left [
\begin{array}{cc:cc}
0.40 & 0.18 & 0.11 & 0.31 \\
0.21 & 0.42 & 0.29 & 0.08 \\
\hdashline
0.12 & 0.30 & 0.38 & 0.20 \\
0.30 & 0.08 & 0.22 & 0.40
\end{array}
\right ]
=
\left [
\begin{array}{cc:cc}
0.4 & 0.2 & 0.1 & 0.3 \\
0.2 & 0.4 & 0.3 & 0.1 \\
\hdashline
0.1 & 0.3 & 0.4 & 0.2 \\
0.3 & 0.1 & 0.2 & 0.4
\end{array}
\right ]
+
\left [
\begin{array}{cc:cc}
0.00 & -0.02 & 0.01 & 0.01 \\
0.01 & 0.02 & -0.01 & -0.02 \\
\hdashline
0.02 & 0.00 & -0.02 & 0.00 \\
0.00 & -0.02 & 0.02 & 0.00
\end{array}
\right ]
\end{aligned}
</math>