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→谱分解方法
=====谱分解方法=====
=====谱分解方法=====
该方法是将原始网络对应的邻接矩阵做特征值分解，并使用这些特征向量来对节点进行聚类，之后再归并网络。
'''输入'''：原始包含[math]N[/math]个节点的网络[math]G[/math]，及对应的邻接矩阵<math>A</math>和距离超参<math>\epsilon</math>；'''输出'''：粗粒化后的宏观网络[math]G'[/math]，及对应的邻接矩阵<math>B</math>，以及从[math]A[/math]到[math]B[/math]的粗粒化方式
'''输入'''：原始包含[math]N[/math]个节点的网络[math]G[/math]，及对应的邻接矩阵<math>A</math>和距离超参<math>\epsilon</math>；'''输出'''：粗粒化后的宏观网络[math]G'[/math]，及对应的邻接矩阵<math>B</math>，以及从[math]A[/math]到[math]B[/math]的粗粒化方式
# 针对邻接矩阵<math>A</math>，得到其[[转移矩阵]]<math>W</math>，然后进行矩阵的[[特征值分解]]，得到特征值集合<math>\Lambda=\{\lambda_i\}^N_{i=1}</math>与特征向量集合<math>E=\{e_i\}^N_{i=1}</math>，通过去除特征值为0的特征向量并且通过特征值对对应的特征向量进行加权，构建新的有偏的特征向量集合<math>E’=\{\lambda_ie_i|\lambda_i≠0\}^N_{i=1}</math>（新的网络节点数量为<math>N'=rank(A)</math>）。直观地说，忽略特征值为0的特征向量是有意义的，因为它对应网络中的简并性，并且非零特征值和相应的特征向量包含了丰富的网络拓扑结构信息；
# 针对邻接矩阵<math>A</math>，得到其[[转移矩阵]]<math>W</math>，然后进行矩阵的[[特征值分解]]，得到特征值集合<math>\Lambda=\{\lambda_i\}^N_{i=1}</math>与特征向量集合<math>E=\{e_i\}^N_{i=1}</math>。
# 依据<math>E'</math>计算节点间的距离矩阵<math>D_{N'×N'}</math>：
# 构建新的有偏的特征向量集合<math>E’=\{\lambda_ie_i|\lambda_i≠0\}^N_{i=1}</math>（新的网络节点数量为<math>N'=rank(A)</math>），该集合中的每个向量被其对应的特征值所加权，同时去除了0特征值和特征向量。直观地说，忽略特征值为0的特征向量是有意义的，因为它对应网络中的简并性，并且非零特征值和相应的特征向量包含了丰富的网络拓扑结构信息；
## 如果节点<math>v_i</math>和<math>v_j</math>分别在对方的马尔可夫毯中，则通过新的特征向量计算两个节点的cos相似性作为两者间的距离<math>d_{ij}</math>和<math>d_{ji}</math>
# 依据<math>E'</math>计算节点间的相似矩阵<math>D_{N'×N'}</math>：
## 否则将两个节点间的距离设为无穷大∞（可以设个比较大的值，如10000）
## 如果节点<math>v_i</math>和<math>v_j</math>分别在对方的马尔可夫毯中，则通过新的特征向量计算两个节点的cos相似性作为两者间的相似度<math>d_{ij}</math>和<math>d_{ji}</math>
# 基于距离矩阵<math>D_{N'×N'}</math>和一个距离超参<math>\epsilon</math>（需要线性搜索，可以选择EI最大的参数），使用[[OPTICS]]算法（是一种基于密度的聚类算法，旨在识别数据集中不同密度的聚类结构）进行聚类，输出对应超参<math>\epsilon</math>下的聚类方式，同一类里的节点进行粗粒化作为一个宏观节点，根据下一小节的节点合并方法得到宏观网络<math>B</math>
## 否则将两个节点间的相似度设为无穷大∞（可以设个比较大的值，如10000）
# 基于相似度矩阵<math>D_{N'×N'}</math>和一个超参<math>\epsilon</math>（需要线性搜索，可以选择EI最大的参数），使用[[OPTICS]]算法（是一种基于密度的聚类算法，旨在识别数据集中不同密度的聚类结构）进行聚类，输出对应超参<math>\epsilon</math>下的聚类方式。
# 根据聚类方案，归并根据网络归并方法（参见）得到宏观网络<math>B</math>
时间复杂度：<math>O(N^3)</math>
时间复杂度：<math>O(N^3)</math>