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===斑图重构机器===
===斑图重构机器===
前面给出了因果态的定义，接下来讨论一个智能体是如何从观测到的时间序列数据中，自动地发现因果态的问题。为了解决这个问题，计算力学建立了名为斑图重构机器（ϵ-machine）的模型，其中[[因果态]]所对应的划分映射被记为<math>\epsilon</math>。它可以重构测量结果中的序列，去除随机噪声后识别其中的因果态。它的形式化定义可以用公式表示为<math>M=(\mathcal{S},T)</math>，<math>T</math>为状态到状态映射的集合，满足<math>S_{t+1}=TS_t</math>，其中<math>S_t</math>为集合<math>\mathcal{S} </math>中的任意一个因果态，类似于一个宏观态。<math>T</math>可以表示为<math>\{T_{ij}^{(s)}:s\in\mathcal{A}\}</math>，其中<math>\mathcal{A}</math>为可数集。<math>T_{ij}^{\left ( s \right )}</math>为两个因果态<math>S_i</math>和<math>S_j</math>之间的因果态转移概率映射，<math>T_{ij}^{(s)}\equiv\mathrm{P}(\mathcal{S}'=\mathcal{S}_j,\stackrel{\to}{S}^1=s|\mathcal{S}=\mathcal{S}_i)</math>，<math>T</math>类似于一个粗粒化后的[[宏观动力学]]。每个[math]\displaystyle{ \mathcal{S} }[/math]都对应一个<math>\epsilon</math>映射，它和<math>T</math>函数一起组成一个有序对<math>\left \{ \epsilon,T \right \}</math>。后文“模型的重构”一节中会介绍，智能体的内在模型会根据观测到的新数据，动态更新<math>\epsilon</math>映射和<math>T</math>函数。
前面给出了因果态的定义，接下来讨论一个智能体是如何从观测到的时间序列数据中，自动地发现因果态的问题。为了解决这个问题，计算力学建立了名为斑图重构机器（ϵ-machine）的模型，其中[[因果态]]所对应的划分映射被记为<math>\epsilon</math>。它可以重构测量结果中的序列，去除随机噪声后识别其中的因果态。它的形式化定义可以用公式表示为<math>M=(\mathcal{S},T)</math>，<math>T</math>为状态到状态映射的集合，它类似于一个粗粒化后的[[宏观动力学]]。<math>T</math>可以表示为<math>\{T_{ij}^{(s)}:s\in\mathcal{A}\}</math>，其中<math>\mathcal{A}</math>为可数集。<math>T_{ij}^{\left ( s \right )}</math>的公式为：
<math>T_{ij}^{(s)} \equiv P(\mathcal{S}' = \mathcal{S}_{j}, \vec{S}^{1} = s | \mathcal{S} = \mathcal{S}_{i})</math>，其中：
- <math>T_{ij}^{(s)}</math>：标记转移概率，表示从状态<math>S_i</math>到状态<math>S_j</math>并发射符号<math>s</math>的概率。
- <math>\mathcal{S}</math>：当前的因果状态随机变量。
- <math>\mathcal{S}'</math>：表示下一个因果状态随机变量。
- <math>\vec{S}^{1}</math>：代表从原始随机过程中获取的下一个“可观测”值，即过程产生的下一个符号。
- <math>s</math>：是从可数集<math>A</math>中取值的单个符号，表示过程在某一步产生的输出。
- <math>\mathcal{S}_{i}</math>和<math>\mathcal{S}_{j}</math>：分别表示第<math>i</math>个和第<math>j</math>个因果状态，它们是对过程历史的一种划分，每个因果状态都有其特定的属性和意义。
该公式定义了因果转移的概率。它表示在当前因果状态为<math>S_i</math>的条件下，下一个因果状态变为<math>S_j</math>且过程产生的下一个符号为<math>s</math>的联合概率。通过这个公式，可以描述<math>\epsilon</math>-机器中因果状态之间的转移关系以及与过程输出符号的对应关系，从而刻画了过程的动态行为和内在结构。例如，在一个具有特定因果结构的系统中，可以根据这个公式计算在某个状态下转移到其他状态并产生特定输出的可能性，进而分析系统的演化规律和预测未来的行为。
每个[math]\displaystyle{ \mathcal{S} }[/math]都对应一个<math>\epsilon</math>映射，它和<math>T</math>函数一起组成一个有序对<math>\left \{ \epsilon,T \right \}</math>。后文“模型的重构”一节中会介绍，智能体的内在模型会根据观测到的新数据，动态更新<math>\epsilon</math>映射和<math>T</math>函数。
=== 统计复杂度===
=== 统计复杂度===