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'''算术表达式'''是由[[数]]和[[算术运算]]（也即四则运算）构成的[[表达式]]。算术表达式通常只是一个记录计算过程的符号串，它作为一个严密的数学对象本身的研究仍然是不充分的。对于一个复杂的数域，如实数域，记录一次计算过程本身写出一个表达式是容易的，然而作为一个概念，严格的定义实数域上的表达式仍然有内在的困难。这个困难之一来自于[[除零错误]]造成的[[语法]]与[[语义]]的不一致。另外一种困难来自于无限长度的表达式的计算，比如著名的令人迷惑的级数 <math> -\frac{1}{12}= 1 + 2 + 3 + ...</math>

'''算术表达式'''是由[[数]]和[[算术运算]]（也即四则运算）构成的[[表达式]]。算术表达式通常只是一个记录计算过程的符号串，它作为一个严密的数学对象本身的研究仍然是不充分的。对于一个复杂的数域，如实数域，记录一次计算过程本身写出一个表达式是容易的，然而作为一个概念，严格的定义实数域上的表达式仍然有内在的困难。这个困难之一来自于[[除零错误]]造成的[[语法]]与[[语义]]的不一致。另外一种困难来自于无限长度的表达式的计算，比如著名的令人迷惑的级数 <math> -\frac{1}{12}= 1 + 2 + 3 + ...</math>。

== 语法式定义 ==

== 语法式定义 ==

[[File:syntax-tree.png|300px|center]]

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严格地讲，如果我们把产生式的目标解读为字串，产生式规则对应字串拼接，我们就得到了'''字串表示'''；如果目标是一个树，产生式规则解读为两个子树拼接成一个更大的树，那么我们就得到了二叉树表示。我们可以很容易的通过前序遍历从树表示得到字串表示。

严格地讲，如果我们把产生式的目标解读为字串，产生式规则对应字串拼接，我们就得到了'''字串表示'''；如果目标是一个树，产生式规则解读为两个子树拼接成一个更大的树，那么我们就得到了'''语法树表示'''。我们可以很容易的通过前序遍历从语法树表示得到字串表示。

由二叉树表示，我们很容易的可以引入'''子表达式'''的概念；树的内部节点对应操作符 +、−、×、÷ ，而叶节点对应数字。

由语法树表示，我们很容易的从子树引入'''子表达式'''的概念；树的内部节点对应操作符 +、−、×、÷ ，而叶节点对应数字。

== 表达式的估值 ==

== 表达式的估值 ==