更改

另一方面，

另一方面，

<math>det(P-\lambda I)=det((P-\lambda I)^{\rm T})=det(P^{\rm T}-\lambda I).</math>

<math>det(P-\lambda I)=det((P-\lambda I)^{\rm T})=det(P^{\rm T}-\lambda I)</math>。

所以，<math>1</math>也是<math>P^{\rm T}</math>的特征值。

所以，<math>1</math>也是<math>P^{\rm T}</math>的特征值。

若<math>\pi_0</math>是方程<math>\pi=\pi P</math>的解，那么由递推关系得

若<math>\pi_0</math>是方程<math>\pi=\pi P</math>的解，那么由递推关系得

<math>\pi_n=\pi_0P^n=\pi_0.</math>

<math>\pi_n=\pi_0P^n=\pi_0</math>。

即若<math>P(X_0=i)=\pi_0(i)</math>，有

即若<math>P(X_0=i)=\pi_0(i)</math>，有

进一步，设<math>\lambda</math>为<math>P</math>的任一特征值，对应的特征向量为<math>x=(x_1,x_2,\ldots)^{\rm T}</math>。那么，<math>\lambda</math>也是<math>P^{\rm T}</math>的特征值，且<math>\lambda x^{\rm T}=x^{\rm T}P^{\rm T}</math>，展开得

进一步，设<math>\lambda</math>为<math>P</math>的任一特征值，对应的特征向量为<math>x=(x_1,x_2,\ldots)^{\rm T}</math>。那么，<math>\lambda</math>也是<math>P^{\rm T}</math>的特征值，且<math>\lambda x^{\rm T}=x^{\rm T}P^{\rm T}</math>，展开得

<math>\lambda x_j=\sum_{i}p_{ij}x_i.</math>

<math>\lambda x_j=\sum_{i}p_{ij}x_i</math>。

不失一般性，假设<math>|x_j|=\max_{k}|x_i|</math>，有

不失一般性，假设<math>|x_j|=\max_{k}|x_i|</math>，有

<math>|\lambda|\cdot|x_j|=\Big|\sum_i p_{ij}x_i\Big|\leq\sum_{i}p_{ij}|x_i|\leq\sum_{i}p_{ij}|x_j|=|x_j|.</math>

<math>|\lambda|\cdot|x_j|=\Big|\sum_i p_{ij}x_i\Big|\leq\sum_{i}p_{ij}|x_i|\leq\sum_{i}p_{ij}|x_j|=|x_j|</math>。

那么，<math>|\lambda|\leq 1</math>。

那么，<math>|\lambda|\leq 1</math>。