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===计算力学与马尔科夫链的成块性理论===
===计算力学与马尔科夫链的成块性理论===
[[马尔科夫链]]是指一个有<math>N</math>个离散状态的随机过程，在给定当前状态下，对于未来状态的预测便不再依赖于过去状态。在离散时间里，时间步之间的状态转移概率可以用一个状态转移概率矩阵<math>P</math>表示。该矩阵需满足马尔科夫条件，即每行加总等于1。
[[马尔科夫链]]是计算力学的一类特殊情形，即当未来状态仅依赖于上一步历史的情形。在马尔科夫链中，人们很早就开始讨论[[马尔科夫链的成块性]]（lumpability），所谓的[[成块性]]是一种描述马尔科夫链的状态是否可聚类并约简的性质。判断一个马尔科夫链上的划分是否是成块的（lumpable），是看它的马尔科夫状态转移矩阵<math>P</math>中的元素经过划分能不能结成一个个小方块（也就是按照聚类对马尔科夫链进行粗粒化表示）。具体来说，对于成块的马尔科夫链来说，我们可以把<math>N</math>个微观状态划分成<math>M < N</math>个宏观状态，在这个划分过程中，我们能定义微观状态<math>s_1</math>到宏观状态<math>A_1</math>的转移概率就等于<math>s_1</math>到<math>A_1</math>中的各个微观状态的转移概率的加和。我们会发现，在成块的马尔科夫链中，宏观状态中的每一个微观状态转移到另一个宏观状态的转移概率都是一样的。这样会使得马尔科夫状态转移概率矩阵<math>P</math>这个方阵中，出现一个个方块，所以称之为成块性。
判断一个马尔科夫链对'''给定划分 <math>A</math>''' 是否成块的充分必要条件为：对于<math>\forall i, j</math>为两个分组的下标, 那么对于任意两个分组<math>A_i</math>中的微观态：<math>\forall s_k, s_m \in A_i</math>，都必须满足：
<math> p(s \in A_j | s_k) = p(s \in A_j | s_m)</math>，其中，<math>p(s \in A_j | s_k) = \sum_{s_q \in A_j} p( s_q | s_k)</math>
另一方面，在讨论因果态的时候，我们也有类似的条件。对于某个划分得到的宏观态集合<math>\mathcal R</math>，其为因果态的充要条件是，
<math>\forall i, \forall \overleftarrow{s_t},\overleftarrow{s_{t^{'}}} \in \mathcal R_i, p(\overrightarrow{s}|\overleftarrow{s_t})=p(\overrightarrow{s} |\overleftarrow{s_{t^{'}}}) </math>，其中<math>\mathcal R_i \in \mathcal R</math>。
<math>\forall i, \forall \overleftarrow{s_t},\overleftarrow{s_{t^{'}}} \in \mathcal R_i, p(\overrightarrow{s}|\overleftarrow{s_t})=p(\overrightarrow{s} |\overleftarrow{s_{t^{'}}}) </math>，其中<math>\mathcal R_i \in \mathcal R</math>。
如果将马尔科夫链的状态分组就看作是因果态理论中的粗粒化划分，那么成块性的要求和因果态的要求非常相似，它们都给出了一种对未来状态做预测的等价性。但是，二者又有区别，区别有以下三点：
'''1. 马尔可夫性假设'''
'''1. 马尔可夫性假设'''
因果态并没有马尔科夫性的假设，但我们总可以把一个序列看成是一个状态，于是就能得到序列映射到序列的马尔科夫转移矩阵。在该概率转移矩阵上，我们可以比较因果态对应的划分映射和满足成块性的划分。
'''2. 微观和宏观最大预测性'''
'''2. 微观和宏观最大预测性'''
因果态的划分一定是一种成块的状态划分，但反之则不一定。所以说，划分的成块性是满足因果态要求的必要不充分条件。
因果态的划分一定是一种成块的状态划分，但反之则不一定。所以说，划分的成块性是满足因果态要求的必要不充分条件。
二者之间的区别也可以用下图进行直观表示：
[[文件:因果态成块性.png|居中|700像素|因果态与成块性的对比]]
该图展示了我们是怎么处理和理解因果态和成块性的。首先，我们把每条序列看作是一个状态，把序列压缩到了一个<math>t</math>时刻的状态空间，并用一个转移矩阵来描述状态（序列）之间的转移概率。
在因果态中，我们只需要对比转移矩阵的行，把相同的行划分成一组；而在成块性中，我们需要同时考虑矩阵的行与列，通过比较每一行到某几列的转移概率来做分组。
===斑图重构机器与世界模型===
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