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=== 统计复杂度-熵率图 ===

=== 统计复杂度-熵率图 ===

[[文件:复杂度-熵率图.jpg|居中|无框|600x600像素]]

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上图（a）为逻辑斯谛映射中统计复杂度<math>C_μ  </math>与香农熵率<math>H(L)/L </math>的关系<ref name=":1">James P. Crutchfield. The Calculi of Emergence: Computation, Dynamics, and Induction. SFI 94-03-016. 1994</ref>，三角形表示<math>(C_μ ,H(L)/L) </math>的大概位置，对应非线性参数<math>r</math>的 193 个取值，其中子序列长度<math>L=16 </math>，覆盖部分实验数据的粗实线是<math>C_μ =0 </math>时对<math>H(L)/L </math>得出的解析解曲线。

上图（a）为逻辑斯谛映射中统计复杂度<math>C_μ  </math>与香农熵率<math>H(L)/L </math>的关系<ref name="crutchfield_1994"/>，三角形表示<math>(C_μ ,H(L)/L) </math>的大概位置，对应非线性参数<math>r</math>的 193 个取值，其中子序列长度<math>L=16 </math>，覆盖部分实验数据的粗实线是<math>C_μ =0 </math>时对<math>H(L)/L </math>得出的解析解曲线。

本图表现了两个重要特征。第一个特征是熵率的极值导致零复杂度，也就是说在<math>H(L)/L=0 </math>处最简单的周期过程和在<math>H(L)/L=1 </math>处最随机的过程在统计复杂性上看都是简单的，它们都具有零复杂度，因为它们是由具有单一状态的斑图重构机器描述的；第二个特征是在两个极端情况之间，复杂度明显升高，并在临界熵率值<math>H_c </math>附近出现明显峰值（此处<math>r=3.5699...</math>）。<math>r_c=3.5699...</math>刚好是[[逻辑斯蒂映射]]的临界相变点，当[math]r<r_c[/math]时，模型处于周期行为；当[math]r>r_c[/math]时，模型进入混沌行为区域。因此，当熵率<math>H(L)/L < H_c </math>时，此时的数据集是由呈周期性（包括在混沌区域也呈周期性的参数）变化的参数下产生，大于<math>H_c </math>时数据集由混沌的参数下产生。本图可以对照统计复杂度小节中的图（b）一起理解。

本图表现了两个重要特征。第一个特征是熵率的极值导致零复杂度，也就是说在<math>H(L)/L=0 </math>处最简单的周期过程和在<math>H(L)/L=1 </math>处最随机的过程在统计复杂性上看都是简单的，它们都具有零复杂度，因为它们是由具有单一状态的斑图重构机器描述的；第二个特征是在两个极端情况之间，复杂度明显升高，并在临界熵率值<math>H_c </math>附近出现明显峰值（此处<math>r=3.5699...</math>）。<math>r_c=3.5699...</math>刚好是[[逻辑斯蒂映射]]的临界相变点，当[math]r<r_c[/math]时，模型处于周期行为；当[math]r>r_c[/math]时，模型进入混沌行为区域。因此，当熵率<math>H(L)/L < H_c </math>时，此时的数据集是由呈周期性（包括在混沌区域也呈周期性的参数）变化的参数下产生，大于<math>H_c </math>时数据集由混沌的参数下产生。本图可以对照统计复杂度小节中的图（b）一起理解。