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第394行：
第394行： + + + − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + − 其中<math>𝑋_𝑡</math>是t时刻的状态向量, 维数为<math>n</math>，<math>\xi \mathcal{N}(0,\Sigma)</math>，<math>\Sigma\in\mathcal{R}^{n\times n}</math>是协方差矩阵。这是一种最简单的连续状态空间的马尔科夫动力学，因此，我们要将SVD方法扩展到这类系统上。我们的思路是，首先利用泛函分析的思想，找到概率转移矩阵的对应物；其次，利用傅里叶变换求出奇异值的表达式，最终写出近似动力学可逆性<math>\Gamma_\alpha</math>的表达式。 − ==布尔网络==
→拓展：高斯噪声迭代系统基于SVD分解的因果涌现
</math>
</math>
</blockquote>
</blockquote>
=拓展：高斯噪声迭代系统基于SVD分解的因果涌现=
=拓展：高斯噪声迭代系统基于SVD分解的因果涌现=
TPM矩阵上基于SVD的因果涌现虽然能得到不依赖粗粒化策略的因果涌现，但是也存在一个弊端，就是只能量化离散条件概率空间的因果效应强度和因果涌现。由于离散概率空间和连续概率空间具有本质的不同，对于连续条件概率空间的基于SVD的因果涌现，我们需要单独进行分析，代表性的就是高斯噪声迭代系统的基于SVD的因果涌现。
高斯噪声的随机迭代系统可以写成：
高斯噪声的随机迭代系统可以写成：
<blockquote>
<blockquote>
<math>X_{𝑡+1} = 𝐴⋅𝑋𝑡 +\xi_𝑡
<math>X_{𝑡+1} = a_0 + 𝐴⋅𝑋𝑡 +\xi_𝑡
</math>
</blockquote>
其中<math>𝑋_𝑡</math>是t时刻的状态向量, 维数为<math>n</math>，<math>\xi\sim\mathcal{N}(0,\Sigma)</math>，<math>\Sigma\in\mathcal{R}^{n\times n}</math>是协方差矩阵。这是一种最简单的连续状态空间的马尔科夫动力学，因此，我们要将SVD方法扩展到这类系统上。我们的思路是，首先利用泛函分析的思想，找到概率转移矩阵的对应物；其次，利用傅里叶变换求出奇异值的表达式，最终写出近似动力学可逆性<math>\Gamma_\alpha</math>的表达式。
==高斯噪声迭代系统的近似可逆性==
[[文件:Figure0.pdf|缩略图|高斯迭代系统的近似可逆性]]
首先，TPM矩阵本质上是条件概率构成的矩阵，因此从条件概率的角度类比，高斯迭代系统的概率转移矩阵为：
<blockquote>
<math> p(x_{t+1}|x_t)=\mathcal{N}(Ax_{t}+a_0,\Sigma)\equiv \frac{1}{(2\pi)^\frac{n}{2}\det(\Sigma)^\frac{1}{2}}\exp\left\{-\frac{1}{2}(x_{t+1}-Ax_t-a_0)^T\Sigma^{-1}(x_{t+1}-Ax_t-a_0)\right\},
</math>
</blockquote>
在离散情况下，由于<math>𝑃</math>的奇异值的平方为矩阵<math>𝑃⋅𝑃^𝑇</math>的特征值，故计算连续情况下的<math>𝑃⋅𝑃^𝑇</math>对应：
<blockquote>
<math> K(\textbf{x},\textbf{y})&=\int_{-\infty}^\infty p(\textbf{z}|\textbf{x})p(\textbf{z}|\textbf{y})d\textbf{z}\\&=(2\pi)^{-\frac{n}{2}}\det(2\Sigma)^{-\frac{1}{2}}\exp\left\{-\frac{1}{4}(\textbf{x}-\textbf{y})^T(A^T\Sigma^{-1}A)(\textbf{x}-\textbf{y})\right\}\\&\equiv\mathcal{K}(\textbf{x}-\textbf{y}).
</math>
</blockquote>
因此，<math>𝑝(𝑦|𝑥)</math>的奇异值平方就是算子<math>\textbf{Κ}</math>的特征值。假设<math>\textbf{Κ}</math>的特征值为<math>\zeta^2</math>，特征函数为：<math>\psi(𝑧)</math>，
则根据特征值和特征函数的定义有：
<blockquote>
<math> (\textbf{K}\psi)(\textbf{x})=\int_{-\infty}^\infty K(\textbf{x},\textbf{y})\psi(\textbf{y})d\textbf{y}=\zeta^2 \psi(\textbf{x}).
</math>
</math>
</blockquote>
</blockquote>
=测试量化因果涌现的效果=
=测试量化因果涌现的效果=