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第446行： − 首先，TPM矩阵本质上是条件概率构成的矩阵，因此从条件概率的角度类比，高斯迭代系统的概率转移矩阵为：+ 第478行：
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==高斯噪声迭代系统的近似可逆性==
==高斯噪声迭代系统的近似可逆性==
首先，TPM矩阵本质上是离散条件概率构<math>p(x_{t+1}|x_t)</math>成的矩阵，因此从条件概率的角度类比到连续系统，高斯迭代系统的概率转移矩阵为：
<blockquote>
<blockquote>
<math> p(x_{t+1}|x_t)=\mathcal{N}(Ax_{t}+a_0,\Sigma)\equiv \frac{1}{(2\pi)^\frac{n}{2}\det(\Sigma)^\frac{1}{2}}\exp\left\{-\frac{1}{2}(x_{t+1}-Ax_t-a_0)^T\Sigma^{-1}(x_{t+1}-Ax_t-a_0)\right\},
<math> p(x_{t+1}|x_t)=\mathcal{N}(Ax_{t}+a_0,\Sigma)\equiv \frac{1}{(2\pi)^\frac{n}{2}\det(\Sigma)^\frac{1}{2}}\exp\left\{-\frac{1}{2}(x_{t+1}-Ax_t-a_0)^T\Sigma^{-1}(x_{t+1}-Ax_t-a_0)\right\},
</math>
</math>
</blockquote>
</blockquote>
可见逆向动力学的协方差矩阵<math>𝐴𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和正向动力学的协方差矩阵<math>Σ^{−1}</math>共同影响了近似可逆性的大小，可以理解为，必须两个协方差都很小，非满秩或病态的维度影响较小的时候，系统动力学才有更强的可逆性。
===维度平均===
进一步，可以可逆性指标取对数并去掉常数项，得到维度平均的指标
进一步，可以可逆性指标取对数并去掉常数项，得到维度平均的指标
<blockquote>
<blockquote>
</blockquote>
</blockquote>
这里，<math>𝑠_𝑖</math>为矩阵<math>𝐴𝑇Σ^{−1}𝐴</math>的第<math>i</math>个奇异值，<math>𝜅_𝑖</math>为矩阵<math>Σ^{−1}</math>的第i个奇异值。因此，我们只需要分析这两个奇异值构成的联合谱，即可定量刻画系统的因果涌现特性了。也就是说，我们把原转移概率矩阵的奇异值分解转变为了对<math>𝐴𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和<math>Σ^{−1}</math>这两个矩阵的奇异值分解问题。其中，<math>Σ^{−1}</math>为正向动力学，即<math>p(x_{t+1}|x_t)=\mathcal{N}(0,\Sigma)</math>的协方差矩阵之逆，而<math>𝐴𝑇Σ^{−1}𝐴</math>则是<math>p(x_{t+1}|x_t)</math>的逆向动力学的协方差矩阵。
这里，<math>𝑠_𝑖</math>为矩阵<math>𝐴𝑇Σ^{−1}𝐴</math>的第<math>i</math>个奇异值，<math>𝜅_𝑖</math>为矩阵<math>Σ^{−1}</math>的第i个奇异值。因此，我们只需要分析这两个奇异值构成的联合谱，即可定量刻画系统的因果涌现特性了。也就是说，我们把原转移概率矩阵的奇异值分解转变为了对<math>𝐴𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和<math>Σ^{−1}</math>这两个矩阵的奇异值分解问题。其中，<math>Σ^{−1}</math>为正向动力学，即<math>p(x_{t+1}|x_t)=\mathcal{N}(0,\Sigma)</math>的协方差矩阵之逆，而<math>𝐴𝑇Σ^{−1}𝐴</math>则是<math>p(x_{t+1}|x_t)</math>的逆向动力学的协方差矩阵。
===确定性和简并性===
通过调整参数<math>
\alpha\in(0,2)
</math>，可以使更好地反映P的确定性或者简并性。当<math>
\alpha\to0,\Gamma_{\alpha}
</math>收敛到
<blockquote>
<math> \Gamma_{\alpha\to 0}\to\left(\frac{2\pi}{\alpha}\right)_{\alpha\to 0}^\frac{n}{2}{\rm pdet}(A^T\Sigma^{-1}A)^{\frac{1}{2}},
</math>
</blockquote>
此时<math>\Gamma_{\alpha\to 0}</math>只由逆向动力学的协方差矩阵或信息熵决定，而逆向动力学的熵直接影响系统的简并性。然而，定义不允许<math>
\alpha
</math>精确为零，这样会导致指标趋于无穷。
同样，当<math>
\alpha=2
</math>时，<math>
\Gamma_{\alpha}
</math>收敛到
<blockquote>
<math> \Gamma_2=\left(\pi\right)^\frac{n}{2}{\rm det}(\Sigma^{-1})^\frac{1}{2},
</math>
</blockquote>
协方差矩阵的逆越大，意味着动力学变得更加可逆。在实践中总是取<math>
\alpha=1
</math>来平衡<math>
\Gamma
</math>测量确定性和简并性的倾向。
==高斯噪声迭代系统基于SVD的因果涌现==
==高斯噪声迭代系统基于SVD的因果涌现==