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第87行：
第87行： + + − + + + + − 其中，<math>P_{ij}(m,n)=\sum_{k\in S}P_{ik}(m)P_{kj}(n-m)</math>称为'''Chapman-Kolmogorov方程'''。 − 一般的，记<math>n-m</math>步转移概率+ + + + + + + −
→时齐性与平稳性
由时齐性假设，记一步转移概率
由时齐性假设，记一步转移概率
<math>P(X_n=j|X_{n-1}=i)=p_{ij}</math>。
<math>P(X_n=j|X_{n-1}=i)=p_{ij}</math>。
此时，对应的Chapman-kolmogorov方程为
此时，对应的Chapman-kolmogorov方程为
<math>
<math>
\begin{aligned}
\begin{aligned}
P(X_n=j|X_0=i)=\sum_{k\in S}P_{ik}(m)P_{kj}(n-m),
P_{ij}(0,n)&=\sum_{k_1\in S}P(X_n=j|X_1=k_1)P(X_1=k_1|X_0=i)\\
&=\sum_{k_1\in S}P(X_n=j|X_1=k_1)p_{ik_1}\\
&=\ldots\\
&=\sum_{k_1\in S}\ldots\sum_{k_{n-1}\in S}p_{ik_1}p_{k_1k_2}\ldots p_{k_{n-1}j}.
\end{aligned}
\end{aligned}
</math>
</math>
不难看出，上述方程与起始时刻无关，仅与时间间隔有关，即如果将时间窗任意平移<math>l</math>个时刻，有
<math>
P_{ij}(l,n+l)=\sum_{k_1\in S}\ldots\sum_{k_{n-1}\in S}p_{ik_1}p_{k_1k_2}\ldots p_{k_{n-1}j}=P_{ij}(0,n)
</math>。
所以，一般的，记<math>n-m</math>步转移概率
<math>P_{ij}(m,n)=P_{ij}(n-m)</math>。
<math>P_{ij}(m,n)=P_{ij}(n-m)</math>。
===转移概率矩阵===
===转移概率矩阵===