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==== 简单定义 ====

==== 简单定义 ====

令<math>I</math>是一个可数集，则一个在[math]I[/math]中取值的连续时间随机过程<math>(X_t)_(t\geq 0)=(X_t:0\leq t<\infty)</math>，就是一系列随机变量<math>X_t:\Omega\to I</math>。我们接下来会讨论如何确定<math>(X_t)_(t\geq 0)</math>的概率行为，这一系列讨论让我们至少在理论上可以计算和这个过程相关的任何概率，比如<math>\mathbb{P}(X_t=i)</math>、<math>\mathbb{P}(X_(t_0)=i_0,\dots,X_(t_n)=i_n)</math>、<math>\mathbb{P}(X_t=i for some t)</math>。与离散时间的情况相比，这些问题会更加复杂和微妙，这是因为对于一个可数不交并集，有

令<math>I</math>是一个可数集，则一个在[math]I[/math]中取值的连续时间随机过程<math>(X_t)_{t\geq 0}=(X_t:0\leq t<\infty)</math>，就是一系列随机变量<math>X_t:\Omega\to I</math>。我们接下来会讨论如何确定<math>(X_t)_{t\geq 0}</math>的概率行为，这一系列讨论让我们至少在理论上可以计算和这个过程相关的任何概率，比如<math>\mathbb{P}(X_t=i)</math>、<math>\mathbb{P}(X_{t_0}=i_0,\dots,X_{t_n}=i_n)</math>、<math>\mathbb{P}(X_t=i,t\in B\subseteq (0,\infty])</math>。与离散时间的情况相比，这些问题会更加复杂和微妙，这是因为对于一个可数不交并集，有

成立，但对于一个不可数并集<math>\cup_(t\geq 0)A_t</math>，上述结果并不成立。为了避免尽可能地避免那些复杂的情况，我们将会把后续讨论的内容限制在具有右连续性的随机过程<math>(X_t)_(t\geq 0)</math>上。在这里右连续定义为，对于任意<math>\omega \in \Omega</math>以及<math>t\geq 0</math>，存在<math>\epsilon</math>，使得当<math>t\leq s\leq t+\epsilon</math>时，总有<math>X_s(\omega)=X_t(\omega)</math>成立。由测度论中的标准结果可知，具有右连续性的随机过程中的任意一个事件的概率，可以由它的有限维分布确定，也就是可以由概率<math>\mathbb{P}(X_(t_0)=i_0,X_(t_1)=i_1,\dots,X_(t_n)=i_n),n\geq 0、0\leq t_0\leq t_1\leq\dots\leq t_n、i_0,\dots,i_n\in I</math>。例如：

<math>\mathbb{P}(X_t=I for some t\in[0,\infty))=1-\lim_(n\to \infty)\sum_(j_1,\dots,j_n\neq i)\mathbb{P}(X_(q_1)=j_i,dots,X_(q_n)=j_n)</math>

具有右连续性的随机过程中的每一条路径<math>t\mapsto X_t(\omega)</math>在每个新状态中必须保持一段时间不变，因此一共有三种可能的路径类型。

<math>\mathbb{P}\left(\cup_nA_n\right)=\sum_n\mathbb{P}(A_n)</math>

第一种类型中有无限次跳跃，但是在任意一个给定的区间<math>[0,t]</math>中只有有限次。第二种类型中只有有限次跳跃，最终会永远“卡”在某一个状态中。第三种类型在一个有限的区间中发生无限次跳跃。

成立，但对于一个不可数并集<math>\cup_{t\geq 0}A_t</math>，上述结果并不成立。为了避免尽可能地避免那些复杂的情况，我们将会把后续讨论的内容限制在具有右连续性的随机过程<math>(X_t)_{t\geq 0}</math>上。在这里右连续定义为，对于任意<math>\omega \in \Omega</math>以及<math>t\geq 0</math>，存在<math>\epsilon</math>，使得当<math>t\leq s\leq t+\epsilon</math>时，总有<math>X_s(\omega)=X_t(\omega)</math>成立。由测度论中的标准结果可知，具有右连续性的随机过程中的任意一个事件的概率，可以由它的有限维分布确定，也就是可以由概率<math>\mathbb{P}(X_{t_0}=i_0,X_{t_1}=i_1,\dots,X_{t_n}=i_n),n\geq 0,0\leq t_0\leq t_1\leq\dots\leq t_n、i_0,\dots,i_n\in I</math>。例如：

==== 指数分布的性质 ====

==== 指数分布的性质 ====