更改

我们先回顾一下在第一节中对连续时间马尔科夫链的定义：

我们先回顾一下在第一节中对连续时间马尔科夫链的定义：

称状态空间<math>S=\{1,2,\ldots\}</math>上的随机过程<math>\{X_t,\ t\geq 0\}</math>是'''连续时间马尔科夫链'''<ref name=":4">Kendall D G, Batchelor G K, Bingham N H, Hayman W K, Hyland J M E, Lorentz G G, Moffatt H K, Parry W, Razborov A A, Robinson C A and Whittle P. Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903–1987). Bulletin of the London Mathematical Society, 1990, 22(1): 31-100.</ref>，

称状态空间<math>S=\{1,2,\ldots,n\}</math>上的随机过程<math>\{X_t,\ t\geq 0\}</math>是'''连续时间马尔科夫链'''<ref name=":4">Kendall D G, Batchelor G K, Bingham N H, Hayman W K, Hyland J M E, Lorentz G G, Moffatt H K, Parry W, Razborov A A, Robinson C A and Whittle P. Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903–1987). Bulletin of the London Mathematical Society, 1990, 22(1): 31-100.</ref>(注意此处讨论的是有限状态空间上的马尔科夫链，无限状态空间上的马尔科夫链后面再讨论)，

若满足<math>\forall n,\ 0=t_0<t_1<\ldots<t_{n-1}<t_{n},\ \ P(X_{t_n}=j|X_{t_{n-1}}=i,X_{t_{n-2}}=x_{t_{n-2}},\ldots,X_{t_{0}}=x_{t_{0}})=P(X_{t_n}=j|X_{t_{n-1}}=i)</math>。

若满足<math>\forall n,\ 0=t_0<t_1<\ldots<t_{n-1}<t_{n},\ \ P(X_{t_n}=j|X_{t_{n-1}}=i,X_{t_{n-2}}=x_{t_{n-2}},\ldots,X_{t_{0}}=x_{t_{0}})=P(X_{t_n}=j|X_{t_{n-1}}=i)</math>。

与离散时间马尔科夫链一样，若连续时间马尔科夫链的转移概率<math>P(X(t+s)=j|X(s)=i)</math>与初始时刻<math>s</math>无关，则称该马尔科夫链是时齐的。简记为<math>P(X(t+s)=j|X(s)=i)=P_{ij}(t)</math>，相应地记转移概率矩阵为<math>P(t)</math>。特别的，<math>P(0)=I</math>。我们所讨论的连续时间马尔科夫链都是时齐的。

与离散时间马尔科夫链一样，若连续时间马尔科夫链的转移概率<math>P(X(t+s)=j|X(s)=i)</math>与初始时刻<math>s</math>无关，则称该马尔科夫链是时齐的。简记为<math>P(X(t+s)=j|X(s)=i)=P_{ij}(t)</math>，相应地记转移概率矩阵为<math>P(t)</math>。特别的，<math>P(0)=I</math>。我们所讨论的连续时间马尔科夫链都是时齐的。

进一步，考察有限空间对应的<math>Q</math>的行和

进一步，考察<math>Q</math>的行和

<math>\sum_{j}Q_{ij}=\sum_{j}\lim_{\Delta t \to 0}\frac{P_{ij}(\Delta t)-\delta_{ij}}{\Delta t}=

<math>\sum_{j}Q_{ij}=\sum_{j}\lim_{\Delta t \to 0}\frac{P_{ij}(\Delta t)-\delta_{ij}}{\Delta t}=

同理，C-K方程的左式加法的可交换性，可知

同理，C-K方程的左式加法的可交换性，可知

<math>

<math>

P(t+\Delta t)=P(\Delta t)P(t),

P(t+\Delta t)=P(\Delta t)P(t)

</math>。并且

</math>，

<math>\frac{d}{dt}P(t)=QP(t)</math>成立，

<math>\frac{d}{dt}P(t)=QP(t)</math>成立，

=====从Q-矩阵到<math>P(t)</math>=====

=====从Q-矩阵到<math>P(t)</math>=====