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→从P(t)到Q-矩阵
与离散时间马尔科夫链一样，若连续时间马尔科夫链的转移概率<math>P(X(t+s)=j|X(s)=i)</math>与初始时刻<math>s</math>无关，则称该马尔科夫链是'''时齐的'''。简记为<math>P(X(t+s)=j|X(s)=i)=P_{ij}(t)</math>，相应地记转移概率矩阵为<math>P(t)</math>。特别的，<math>P(0)=I</math>。我们所讨论的连续时间马尔科夫链都是时齐的。
与离散时间马尔科夫链一样，若连续时间马尔科夫链的转移概率<math>P(X(t+s)=j|X(s)=i)</math>与初始时刻<math>s</math>无关，则称该马尔科夫链是'''时齐的'''。简记为<math>P(X(t+s)=j|X(s)=i)=P_{ij}(t)</math>，相应地记转移概率矩阵为<math>P(t)</math>。特别的，<math>P(0)=I</math>。我们所讨论的连续时间马尔科夫链都是时齐的。
=====Chapman-Kolmogorov方程=====
与离散时间马尔科夫链相同，在连续时间马尔科夫链中也能得到'''C-K方程'''：
与离散时间马尔科夫链相同，在连续时间马尔科夫链中也能得到'''C-K方程'''：
<math>P(t+s)=P(t)P(s)</math>。
<math>P(t+s)=P(t)P(s)</math>。
我们可以对<math>P(t)</math>求导，结合C-K方程考察它的变化率：
=====转移速率矩阵=====
我们可以对<math>P(t)</math>求导，并结合C-K方程考察它的变化率：
<math>
<math>
于是我们证明了<math>P(t)</math>在<math>t=0</math>时的变化速率<math>Q</math>就是一个Q-矩阵，也称<math>Q</math>是这个连续时间马尔科夫链的无穷小矩阵或者'''转移速率矩阵'''。
于是我们证明了<math>P(t)</math>在<math>t=0</math>时的变化速率<math>Q</math>就是一个Q-矩阵，也称<math>Q</math>是这个连续时间马尔科夫链的无穷小矩阵或者'''转移速率矩阵'''。
=====向前方程和向后方程=====
由上面的推导，我们知道<math>\frac{d}{dt}P(t)=P(t)Q</math>成立，我们将它称为'''前向方程'''。
由上面的推导，我们知道<math>\frac{d}{dt}P(t)=P(t)Q</math>成立，我们将它称为'''前向方程'''。