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===比例成块性 Proportional Lumpability===

===比例成块性 Proportional Lumpability===

比例成块性（Proportional Lumpability）<ref name=":6">Piazza, Carla, and Sabina Rossi. "Reasoning about proportional lumpability." International Conference on Quantitative Evaluation of Systems. Cham: Springer International Publishing, 2021.</ref>是基于连续时间马尔科夫链（'''CTMC'''）提出的，用于放松成块性限制的概念。目前尚未发现有研究证明其能应用于离散时间马尔科夫链（'''DTMC'''）。

比例成块性（Proportional Lumpability）<ref name=":6">Piazza, Carla, and Sabina Rossi. "Reasoning about proportional lumpability." International Conference on Quantitative Evaluation of Systems. Cham: Springer International Publishing, 2021.</ref>是基于连续时间马尔科夫链（'''CTMC'''）提出的，用于放松成块性限制的概念。目前尚未发现有研究直接将该概念应用于离散时间马尔科夫链（'''DTMC'''）。

如果将 DTMC 的转移概率矩阵<math>P</math>视为一个差分算子，那么我们可以大概把CTMC的转移概率矩阵 <math>Q</math>看作是一个微分算子，详情请参阅[[马尔科夫链]]。<math>Q</math>矩阵定义如下：

如果将 DTMC 的转移概率矩阵<math>P</math>视为一个差分算子，那么我们可以大概把CTMC的转移概率矩阵 <math>Q</math>看作是一个微分算子，详情请参阅[[马尔科夫链]]。<math>Q</math>矩阵定义如下：

对于<math>Q</math>矩阵，微观的离散状态空间<math>S</math>，分组后的宏观状态空间<math>A</math>，如果<math>Q</math>满足强成块性的话：

对于<math>Q</math>矩阵，微观的离散状态空间<math>S</math>，分组后的宏观状态空间<math>A</math>，如果<math>Q</math>满足强成块性的话：

<math>Pr(A_m | s_i) = Pr(A_m | s_j), \forall s_i, s_j \in A_n,</math>

<math>\forall s_i, s_j \in A_n, q(s_i, A_m) = q(s_j, A_m)</math>

其中，<math>Pr(A_m | s_i) = \sum_{s_k \in A_m} Pr(s_k| s_i) = \sum_{s_k \in A_m} q(s_i, s_k) = \sum_{s_k \in A_m} q_{ik}</math>为微观状态<math>s_i</math>到宏观状态<math>A_m</math>的转移速率。

其中，<math>q(s_i, A_m) = \sum_{s_k \in A_m} q(s_i, s_k) = \sum_{s_k \in A_m} q_{ik}</math>为微观状态<math>s_i</math>到宏观状态<math>A_m</math>的转移速率。也就是说，属于同一组的任意微观状态转移到宏观状态的‘速率’是一样的。

对<math>S</math>中的任意一个状态，存在一个函数<math>\kappa:S \rightarrow \mathcal{R}^+</math>，使得：

对<math>S</math>中的任意一个状态，存在一个函数<math>\kappa:S \rightarrow \mathcal{R}^+</math>，使得：

<math>\forall A_m, A_n, s_i, s_j \in A_m, \frac{Pr(A_n|s_i)}{\kappa(s_i)} = \frac{Pr(A_n|s_j)}{\kappa(s_j)}</math>

<math>\forall A_m, A_n, s_i, s_j \in A_m, \frac{q(s_i, A_n)}{\kappa(s_i)} = \frac{q(s_j, A_n)}{\kappa(s_j)}</math>

我们称这样的CTMC对分组<math>A</math> 是 <math>\kappa</math>-比例成块的。

我们称这样的CTMC对分组<math>A</math> 是 <math>\kappa</math>-比例成块的。

所以，比例成块性描述的是，对一个本来强成块的<math>Q'</math>的每一行<math>i</math>乘以一个系数<math>\kappa(s_i)</math>，使得每行的转出速率都不一致的情况。反过来说，如果我们对于一个<math>Q</math>的每一行的转出速率进行一个‘对齐’后能获得一个强成块的<math>Q'</math>的话，那么<math>Q</math>就是比例成块的。因为，

所以，比例成块性描述的是，对一个本来强成块的<math>Q'</math>的每一行<math>i</math>乘以一个系数<math>\kappa(s_i)</math>，使得每行的转出速率都不一致的情况。反过来说，如果我们对于一个<math>Q</math>的每一行的转出速率进行一个‘对齐’后能获得一个强成块的<math>Q'</math>的话，那么<math>Q</math>就是比例成块的。因为，

<math>\frac{ Pr(A_m|s_i) }{ \kappa(s_i) } = \frac{ \sum_{s_k \in A_m} q_{ik} }{ \kappa(s_i) } = \sum_{s_k \in A_m} \frac{ q_{ik} }{ \kappa(s_i) } = \sum_{s_k \in A_m} q'_{ik} </math>，

<math>\frac{ q(s_i, A_m) }{ \kappa(s_i) } = \frac{ \sum_{s_k \in A_m} q_{ik} }{ \kappa(s_i) } = \sum_{s_k \in A_m} \frac{ q_{ik} }{ \kappa(s_i) } = \sum_{s_k \in A_m} q'_{ik} </math>，

其中<math>q'_{ij} \in Q'</math>，<math>Q'</math>为强成块矩阵<math>Q' = KQ</math>，<math>K = diag(1/\kappa(s_1), 1/\kappa(s_2), ... , 1/\kappa(s_n))</math>。

其中<math>q'_{ij} \in Q'</math>，<math>Q'</math>为强成块矩阵<math>Q' = KQ</math>，<math>K = diag(1/\kappa(s_1), 1/\kappa(s_2), ... , 1/\kappa(s_n))</math>。

目前，暂时没有在DTMC上的比例成块性定义。虽然CTMC上的定义比较简单，但无法直接迁移到DTMC上。这是因为从CTMC的速率矩阵<math>Q</math>到DTMC的转移矩阵<math>P</math>之间需要经过一个<math>P = P(t) = exp(tQ) = \sum_k=0^\infty \frac{ (tQ)^k }{ k! }</math>的泰勒展开转换，<math>t</math>为步长时间。

目前，暂时没有在DTMC上的比例成块性定义。虽然CTMC上的定义比较简单，但无法直接迁移到DTMC上。这是因为从CTMC的速率矩阵<math>Q</math>到DTMC的转移矩阵<math>P</math>之间需要经过一个<math>P = P(t) = exp(tQ) = \sum_{k=0}^\infty \frac{ (tQ)^k }{ k! }</math>的泰勒展开转换，<math>t</math>为步长时间。

所以，<math>Q</math>和<math>Q'=KQ</math>对应的转移矩阵分别为<math>P = \sum_{n=0}^\infty \frac{ (tQ)^n }{ n! }</math>和<math>P = \sum_{n=0}^\infty \frac{ (tKQ)^n }{ n! }</math>，并无简单的对应关系。

所以，<math>Q</math>和<math>Q'=KQ</math>对应的转移矩阵分别为<math>P = \sum_{n=0}^\infty \frac{ (tQ)^n }{ n! }</math>和<math>P = \sum_{n=0}^\infty \frac{ (tKQ)^n }{ n! }</math>，并无简单的对应关系。