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然而，现有的[[因果涌现]]理论存在着一定的局限性。例如，基于[[有效信息的因果涌现理论]]是一个依赖于粗粒化方案的理论，不同的粗粒化策略会得到完全不同的因果涌现判断结果。尽管这一局限可以通过最大化有效信息<ref name=":maxEI">Mingzhe Yang, Zhipeng Wang, Kaiwei Liu, et al. Finding emergence in data by maximizing effective information. National Science Review, 2024, nwae279</ref>选取粗粒化策略得到一定程度的解决，但是该优化问题还是很难求解。Rosas等人提出了用[[协同信息]]量化涌现的方法<ref name=":rosas" />，但是这种计算涉及到多个变量的所有组合，因而计算量会随着变量数的增加而呈现指数增长。Rosas进一步提出了近似计算方案，但是该方法与Erik Hoel的因果涌现理论一样，需要事先指定粗粒化方案及其涌现变量<ref name=":rosas" />。同样地，Seth等人更早提出的用[[格兰杰因果]]量化涌现理论也需要在粗粒化方案给定的情况下展开讨论<ref name=":seth"/>。对于粗粒化方案的过分依赖会使得这些量化涌现理论在不同程度上依赖于观察者的粗粒化策略，因而带有一定的主观色彩。那么，是否存在着一种不依赖于粗粒化方案的因果涌现理论呢？

然而，现有的[[因果涌现]]理论存在着一定的局限性。例如，基于[[有效信息的因果涌现理论]]是一个依赖于粗粒化方案的理论，不同的粗粒化策略会得到完全不同的因果涌现判断结果。尽管这一局限可以通过最大化有效信息<ref name=":maxEI">Mingzhe Yang, Zhipeng Wang, Kaiwei Liu, et al. Finding emergence in data by maximizing effective information. National Science Review, 2024, nwae279</ref>选取粗粒化策略得到一定程度的解决，但是该优化问题还是很难求解。Rosas等人提出了用[[协同信息]]量化涌现的方法<ref name=":rosas" />，但是这种计算涉及到多个变量的所有组合，因而计算量会随着变量数的增加而呈现指数增长。Rosas进一步提出了近似计算方案，但是该方法与Erik Hoel的因果涌现理论一样，需要事先指定粗粒化方案及其涌现变量<ref name=":rosas" />。同样地，Seth等人更早提出的用[[格兰杰因果]]量化涌现理论也需要在粗粒化方案给定的情况下展开讨论<ref name=":seth"/>。对于粗粒化方案的过分依赖会使得这些量化涌现理论在不同程度上依赖于观察者的粗粒化策略，因而带有一定的主观色彩。那么，是否存在着一种不依赖于粗粒化方案的因果涌现理论呢？

2024年，[[张江]]等人<ref name=":22">Zhang J, Tao R, Yuan B. Dynamical Reversibility and A New Theory of Causal Emergence. arXiv preprint arXiv:2402.15054. 2024 Feb 23.</ref>基于[[奇异值分解]]，提出了一套新的因果涌现理论。该理论的核心思想是指出所谓的因果涌现其实等价于动力学可逆性的涌现。给定一个系统的马尔科夫转移矩阵，通过对它进行奇异值分解，将奇异值的<math>\alpha</math>次方之和定义为马尔科夫动力学的近似可逆性度量（<math>\Gamma_{\alpha}\equiv \sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}</math>），这里[math]\sigma_i[/math]为奇异值，[math]\alpha[/math]为一个参数，用以刻画最终指标偏向于衡量确定性或简并性的程度，通常我们取[math]\alpha=1[/math]，表示平权考虑确定性或简并性对最终可逆性度量的影响。该指标与[[有效信息]]具有高度的相关性，也可以用于刻画动力学的因果效应强度。根据奇异值的谱，该方法可以在不显式定义粗粒化方案的条件下，直接定义所谓'''清晰因果涌现'''（clear causal emergence）和'''模糊因果涌现'''（vague causal emergence）的概念。

2024年，[[张江]]等人<ref name=":22">Zhang J, Tao R, Yuan B. Dynamical Reversibility and A New Theory of Causal Emergence. arXiv preprint arXiv:2402.15054. 2024 Feb 23.</ref>基于[[奇异值分解]]，提出了一套新的因果涌现理论。该理论的核心思想是指出所谓的因果涌现其实等价于动力学可逆性的涌现。给定一个系统的马尔科夫转移矩阵，通过对它进行[[奇异值分解]]，将奇异值的<math>\alpha</math>次方之和定义为马尔科夫动力学的近似可逆性度量（<math>\Gamma_{\alpha}\equiv \sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}</math>），这里[math]\sigma_i[/math]为奇异值，[math]\alpha[/math]为一个参数，用以刻画最终指标偏向于衡量确定性或简并性的程度，通常我们取[math]\alpha=1[/math]，表示平权考虑确定性或简并性对最终可逆性度量的影响。该指标与[[有效信息]]具有高度的相关性，也可以用于刻画动力学的[[因果效应强度]]。根据奇异值的谱，该方法可以在不显式定义粗粒化方案的条件下，直接定义所谓'''清晰因果涌现'''（clear causal emergence）和'''模糊因果涌现'''（vague causal emergence）的概念。

2025年，基于可逆性的的因果涌现理论<ref name=":15" />又被成功地拓展到了高斯噪声迭代系统之中（[math]X_{t+1}=a_0+AX_t+\xi_t[/math]）。对于一个具有高斯噪声的迭代系统，我们可以类比马尔科夫转移矩阵计算奇异值的方法，利用泛函分析和傅里叶变换的方法，得到频域空间中连续动力系统的可逆性度量指标<math>\Gamma_{\alpha}\equiv \int_{-\infty}^\infty\sigma^{\alpha}(\omega)</math>。而与离散状态空间不同，对于连续的空间，无论<math>n</math>取多少<math>\mathcal{R}^n</math>之间状态数量都是无穷，状态空间的势（反应集合中点的数量）是相同的，因此无法直接从状态上进行约减。我们需要把涌现的研究对象，从概率空间转移到变量空间，而<math>\Gamma_{\alpha}</math>恰好与正向动力学的协方差矩阵的逆矩阵<math>\Sigma^{-1}</math>与逆向动力学的协方差矩阵的逆矩阵<math>A^T\Sigma^{-1}A</math>正相关，两个协方差矩阵在一起可以反映变量空间在动力学意义下的可逆性。因此在满足高斯噪声的连续变量空间，我们也可以在不显式定义粗粒化方案的条件下，直接定义所谓'''清晰因果涌现'''和'''模糊因果涌现'''。

2025年，基于可逆性的的因果涌现理论<ref name=":15" />又被成功地拓展到了高斯噪声迭代系统之中（[math]X_{t+1}=a_0+AX_t+\xi_t[/math]）。对于一个具有高斯噪声的迭代系统，我们可以类比马尔科夫转移矩阵计算奇异值的方法，利用泛函分析和傅里叶变换的方法，得到频域空间中连续动力系统的可逆性度量指标<math>\Gamma_{\alpha}\equiv \int_{-\infty}^\infty\sigma^{\alpha}(\omega)</math>。而与离散状态空间不同，对于连续的空间，无论<math>n</math>取多少<math>\mathcal{R}^n</math>之间状态数量都是无穷，状态空间的势（反应集合中点的数量）是相同的，因此无法直接从状态上进行约减。我们需要把涌现的研究对象，从概率空间转移到变量空间，而<math>\Gamma_{\alpha}</math>恰好与正向动力学的协方差矩阵的逆矩阵<math>\Sigma^{-1}</math>与逆向动力学的协方差矩阵的逆矩阵<math>A^T\Sigma^{-1}A</math>都正相关，两个协方差矩阵在一起可以反映变量空间在动力学意义下的可逆性。因此在满足高斯噪声的连续变量空间，我们也可以在不显式定义粗粒化方案的条件下，直接定义所谓'''清晰因果涌现'''和'''模糊因果涌现'''。

=基本概念=

=基本概念=