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===连续动力学===

===连续动力学===

TPM矩阵上基于SVD的因果涌现虽然能得到不依赖粗粒化策略的因果涌现，但是也存在一个弊端，就是只能量化离散条件概率空间的因果效应强度和因果涌现。由于离散概率空间和连续概率空间具有本质的不同，对于连续条件概率空间的基于SVD的因果涌现，我们需要单独进行分析，代表性的就是高斯噪声迭代系统的基于SVD的因果涌现<ref name=":15">Kaiwei Liu, Linli Pan, Zhipeng Wang, et al. SVD-based Causal Emergence for Gaussian Iterative Systems. arXiv:2502.08261, 2025.</ref>。

TPM矩阵上基于SVD的因果涌现虽然能得到不依赖粗粒化策略的因果涌现，但是也存在一个弊端，就是只能量化离散条件概率空间的因果效应强度和因果涌现。由于离散概率空间和连续概率空间具有本质的不同，对于连续概率空间的基于SVD的因果涌现，我们需要单独进行分析。这里，我们考虑一个具有代表性的连续变量的动力系统，这就是高斯噪声迭代系统，引入它的基于SVD的因果涌现理论<ref name=":15">Kaiwei Liu, Linli Pan, Zhipeng Wang, et al. SVD-based Causal Emergence for Gaussian Iterative Systems. arXiv:2502.08261, 2025.</ref>。

高斯噪声的随机迭代系统可以写成：  

高斯噪声的随机迭代系统可以写成：  

<blockquote>

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<math>X_{𝑡+1} = a_0 + 𝐴⋅𝑋_𝑡 +\xi_𝑡

<math>X_{𝑡+1} = a_0 + 𝐴⋅𝑋_𝑡 +\xi_𝑡

</math>

</math>

</blockquote>

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其中<math>𝑋_𝑡</math>是t时刻的状态向量, 维数为<math>n</math>，<math>\xi\sim\mathcal{N}(0,\Sigma)</math>，<math>\Sigma\in\mathcal{R}^{n\times n}</math>是协方差矩阵。这是一种最简单的连续状态空间的马尔科夫动力学，因此，我们要将SVD方法扩展到这类系统上。逆向动力学的协方差矩阵的逆矩阵<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和正向动力学的协方差矩阵的逆矩阵<math>Σ^{−1}</math>共同影响了近似可逆性的大小，可以理解为，正向、逆向的协方差都很小，或非满秩、病态（对应维度虽然取值非0，但相比其他维度相差过于悬殊）的矩阵对模型整体影响较小的时候，系统动力学有更强的可逆性。

其中<math>𝑋_𝑡</math>是t时刻的状态向量, 维数为<math>n</math>，<math>\xi_t\sim\mathcal{N}(0,\Sigma)</math>为t时刻的噪音变量，<math>\Sigma\in\mathcal{R}^{n\times n}</math>是它的协方差矩阵。这是一种最简单的连续状态空间的马尔科夫动力学，因此，我们要将SVD方法扩展到这类系统上。

# <math>A</math>是可逆矩阵，即存在矩阵<math>A^{-1}</math>，使得<math>AA^{-1}=I</math>，[math]I[/math]为单位矩阵；  

# <math>A</math>是可逆矩阵，即存在矩阵<math>A^{-1}</math>，使得<math>AA^{-1}=I</math>，[math]I[/math]为单位矩阵；  

# 正逆向动力学协方差矩阵满足<math>(𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴)\to 0, Σ\to 0</math>；

# 正逆向动力学协方差矩阵满足<math>(𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴)\to 0, Σ\to 0</math>；

则<math>X_{𝑡+1} = a_0 + 𝐴⋅𝑋_𝑡 +\xi_𝑡</math>可以称为'''严格动力学可逆的'''，此时动力学等价于一一映射<math>X_{𝑡+1} = a_0 + 𝐴⋅𝑋_𝑡</math>。

则<math>X_{𝑡+1} = a_0 + 𝐴⋅𝑋_𝑡 +\xi_𝑡</math>可以称为'''严格动力学可逆的'''，此时动力学等价于一一映射<math>X_{𝑡+1} = a_0 + 𝐴⋅𝑋_𝑡</math>。

<blockquote>

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<math>X_{𝑡+1} = a_0 + 𝐴⋅𝑋_𝑡, X_t=A^{-1}X_{t+1}-A^{-1}a_0

<math>X_{𝑡+1} = a_0 + 𝐴⋅𝑋_𝑡,

</math>

</math>

</blockquote>

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此时<math>𝑋_𝑡</math>和<math>𝑋_{t+1}</math>可以相互建立一一映射。而<math>A</math>不可逆或存在噪声<math>\xi\sim\mathcal{N}(0,\Sigma)</math>的情况下，会造成映射的不可逆，因此我们只能通过近似可逆性来度量以上两种情况的可逆性。我们可以发现，当噪声协方差同时满足<math>\Sigma\to 0</math>, <math>A^\dagger\Sigma(A^\dagger)^T\to 0</math>，即正向动力学和逆向动力学的噪声协方差矩阵均接近0的时候，整个动力学可以近似为<math>X_{t+1}=a_0+AX_t+\varepsilon_t\to AX_t+a_0</math>和<math>X_{t}=A^\dagger X_{t+1}-A^\dagger a_0-A^\dagger\varepsilon_t\to A^\dagger X_t-A^\dagger a_0</math>，此时<math>𝑋_𝑡</math>和<math>𝑋_{t+1}</math>之间的的条件概率分布可以写成狄拉克分布

 

此时<math>𝑋_𝑡</math>和<math>𝑋_{t+1}</math>可以相互建立一一映射。而<math>A</math>不可逆或存在噪声<math>\xi\sim\mathcal{N}(0,\Sigma)</math>的情况下，会造成映射的不可逆，因此我们只能通过近似可逆性来度量以上两种情况的可逆性。我们可以发现，当噪声协方差同时满足<math>\Sigma\to 0</math>, <math>A^\dagger\Sigma(A^\dagger)^T\to 0</math>，即正向动力学和逆向动力学的噪声协方差矩阵均接近0的时候，整个动力学可以近似为

<math>

X_{t+1}=a_0+AX_t+\varepsilon_t\to AX_t+a_0

</math>

和

<math>

X_{t}=A^\dagger X_{t+1}-A^\dagger a_0-A^\dagger\varepsilon_t\to A^\dagger X_t-A^\dagger a_0

</math>

 

此时<math>𝑋_𝑡</math>和<math>𝑋_{t+1}</math>之间的的条件概率分布可以写成狄拉克分布

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<math>

<math>

p(X_{t+1}|X_t)=\delta(X_{t+1}-AX_t-a_0), p(X_t|X_{t+1})=\delta(X_t-A^\dagger X_{t+1}+A^\dagger a_0)

p(X_t|X_{t+1})=\delta(X_t-A^\dagger X_{t+1}+A^\dagger a_0)

</math>

</math>

</blockquote>

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使动力系统的可逆性达到最强。因此我们只要寻找一种同时包含<math>\Sigma</math>和<math>A^\dagger\Sigma(A^\dagger)^T</math>的指标，来度量近似可逆性。

使动力系统的可逆性达到最强。因此我们只要寻找一种同时包含<math>\Sigma</math>和<math>A^\dagger\Sigma(A^\dagger)^T</math>的指标，我们就可以度量近似可逆性。逆向动力学的协方差矩阵的逆矩阵<math>𝐴^𝑇Σ^{−1}𝐴</math>和正向动力学的协方差矩阵的逆矩阵<math>Σ^{−1}</math>共同影响了近似可逆性的大小，可以理解为，正向、逆向的协方差都很小，或非满秩、病态（对应维度虽然取值非0，但相比其他维度相差过于悬殊）的矩阵对模型整体影响较小的时候，系统动力学有更强的可逆性。

<!--我们的思路是，首先利用泛函分析的思想，找到概率转移矩阵的对应物；其次，利用傅里叶变换求出奇异值的表达式，最终写出近似动力学可逆性<math>\Gamma_\alpha</math>的表达式。-->

<!--我们的思路是，首先利用泛函分析的思想，找到概率转移矩阵的对应物；其次，利用傅里叶变换求出奇异值的表达式，最终写出近似动力学可逆性<math>\Gamma_\alpha</math>的表达式。-->