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称<math>\pi_0</math>为'''平稳分布'''。

称<math>\pi_0</math>为'''平稳分布'''。

====时间可逆的马尔科夫链与细致平衡条件====

====时间可逆的马尔科夫链====

 

前面的讨论都沿着时间正向在讨论，下面考虑时间反向的过程。

前面的讨论都沿着时间正向在讨论，下面考虑时间反向的过程。

此时，反向过程是齐次的。

此时，反向过程是齐次的。

 

进一步，考虑一种特殊情形，若<math>q_{ij}=p_{ij}</math>，即对于任意的状态<math>i,j</math>，若存在<math>S</math>上的概率分布<math>\pi</math>满足

进一步，考虑一种特殊情形，若<math>q_{ij}=p_{ij}</math>，即对于任意的状态<math>i,j</math>，若存在<math>S</math>上的概率分布<math>\pi</math>满足

<math>\pi_i p_{ij}=\pi_jp_{ji}</math>，

<math>\pi_i p_{ij}=\pi_jp_{ji}</math>，

此时，称马尔科夫链满足细致平衡条件，也称该马尔科夫链是'''时间可逆的'''，称概率分布<math>\pi</math>为<math>P</math>的一个可逆分布。

此时，称马尔科夫链满足细致平衡条件，也称该马尔科夫链是'''时间可逆的'''，称概率分布<math>\pi</math>为<math>P</math>的一个'''可逆分布'''。

注：<math>\pi_i p_{ij}</math>可以理解为状态<math>i</math>向状态<math>j</math>的输送，同理，<math>\pi_jp_{ji}</math>可以理解为状态<math>j</math>向状态<math>i</math>的输送。细致平衡条件可以理解为任意的状态<math>i</math>与状态<math>j</math>之间的相互输送是相同的。

注：<math>\pi_i p_{ij}</math>可以理解为状态<math>i</math>向状态<math>j</math>的输送，同理，<math>\pi_jp_{ji}</math>可以理解为状态<math>j</math>向状态<math>i</math>的输送。细致平衡条件可以理解为任意的状态<math>i</math>与状态<math>j</math>之间的相互输送是相同的。

 

进一步，由细致平衡条件，则可逆分布是平稳分布，即

进一步，由细致平衡条件，则可逆分布是平稳分布，即