| 第490行： |
第490行： |
| | | | |
| | 在实际应用中，粗粒化策略Φ的约束（例如，宏观动力学TPM的分组和归一化）会阻止<math>\phi_j</math>与奇异向量完美对齐。因此，基于SVD的粗粒化策略只是最大化EI的近似必要条件。 | | 在实际应用中，粗粒化策略Φ的约束（例如，宏观动力学TPM的分组和归一化）会阻止<math>\phi_j</math>与奇异向量完美对齐。因此，基于SVD的粗粒化策略只是最大化EI的近似必要条件。 |
| − |
| |
| − | ==TPM矩阵的粗粒化方法==
| |
| − | 虽然无需粗粒化也能定义和量化清晰或模糊因果涌现，但在一些场合，我们仍然需要对原始系统进行更简单的粗粒化描述，以便与 EI 得出的结果进行比较。因此，该理论提供了一种基于奇异值分解的粗粒化方法，以获得宏观层面的简化TPM。其基本思想是将 P 中的行向量 <math>P_{i},\forall i \in [1,N]</math>投影到<math>P\cdot P^{T}</math>的特征向量张成的子空间上，从而保留P的主要信息，并保持<math>\Gamma</math>不变。
| |
| − |
| |
| − | 该方法的基本思路是将P中的所有行向量<math>P_{i}</math>视为维数为N的数据向量，然后首先对这些行向量进行PCA降维，其次将其聚类为r个簇，其中r是根据奇异值频谱的阈值<math>\epsilon</math>选取的。有了聚类，我们就可以根据所有平稳流都是保守的原则，对原始TPM进行粗粒化。
| |
| − |
| |
| − | '''1)''' 对P进行SVD分解（假设P是不可归约的，且具有周期性，从而存在平稳分布）：
| |
| − | <blockquote>
| |
| − | <math>P=U\cdot \Sigma \cdot V^{T},</math>
| |
| − | </blockquote>
| |
| − | 其中，<math>U</math>和<math>V</math>是两个尺寸为N×N的正交归一化矩阵，<math>\Sigma = diag(\sigma_{1},\sigma_{2},...,\sigma_{N})</math> 是一个对角矩阵，包含所有有序奇异值。
| |
| − |
| |
| − | '''2)'''选择一个<math>\epsilon</math>作为阈值来切断奇异值谱，并得到<math>r_{\epsilon}</math>作为保留状态的个数；
| |
| − |
| |
| − | '''3)'''通过计算<math>\tilde{P}\equiv P\cdot V_{N\times r_{\epsilon}}</math>对P中的所有<math>P_{i}</math>进行降维，其中<math>V_{N\times r_{\epsilon}}</math>由<math>P\cdot P^{T}</math>的前<math>r_{\epsilon}</math>特征向量构成；
| |
| − |
| |
| − | '''4)''' 通过 K-means 算法将<math>\tilde{P}</math>中的所有行向量聚类为r组，得到投影矩阵<math>\Phi</math>，其定义为:
| |
| − | <blockquote>
| |
| − | <math>
| |
| − | \Phi_{ij} =\begin{cases}
| |
| − | 1, & \text{如果}\tilde{P_{i}}\text{属于第r组}\\
| |
| − | 0, & \text{其他情况}
| |
| − | \end{cases}</math>
| |
| − | </blockquote>
| |
| − | 对<math>\forall i,j \in [1,N]</math>都成立。
| |
| − |
| |
| − | '''5)''' 利用<math>\Phi</math>和P得到新的TPM。
| |
| − |
| |
| − | 为了说明如何获得简化的TPM，首先定义一个矩阵，称为平稳流矩阵，如下所示：
| |
| − | <blockquote>
| |
| − | <math>F_{ij} \equiv \mu_i \cdot P_{ij}, \, \forall i,j \in [1, N],
| |
| − | </math>
| |
| − | </blockquote>
| |
| − | 其中，<math>\mu</math>是P的平稳分布，满足<math>P\cdot\mu=\mu</math>。
| |
| − |
| |
| − | 其次，我们将根据 <math>\Phi</math>和<math>F</math>推导出简化平稳流矩阵：
| |
| − | <blockquote>
| |
| − | <math>F' = \Phi^T \cdot F \cdot \Phi,
| |
| − | </math>
| |
| − | </blockquote>
| |
| − | 其中，F'是简化平稳流矩阵。最后，粗粒化后的TPM可直接通过以下公式得出：
| |
| − | <blockquote>
| |
| − | <math>P'_i = F'_i / \sum_{j=1}^{N} (F'_i)_j, \, \forall i \in [1, N].
| |
| − | </math>
| |
| − | </blockquote>
| |
| − | 将N个[math]P'_i[/math]拼在一起就能得到最终的TPM。
| |
| | | | |
| | ==具体案例== | | ==具体案例== |