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→模糊因果涌现
</blockquote>
</blockquote>
==模糊因果涌现==
==模糊因果涌现==
对于具有任意的马尔可夫链<math>\chi</math>，其概率转移矩阵（TPM）为P，假设其奇异值为<math>(\sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge...\ge\sigma_{N}\ge0)</math>。对于给定实值<math>\epsilon\in[0,\sigma_{1}]</math>，如果存在整数<math>i\in[1, N)</math>，使得<math>\sigma_{i}>\epsilon</math>，则系统中出现了模糊因果涌现，其模糊程度为<math>\epsilon</math>。而因果涌现的程度为：
\chi
</math>，假设其奇异值为<math>
(\sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge...\ge\sigma_{N}\ge0)
</math>。对于给定实值<math>
\epsilon\in[0,\sigma_{1}]
</math>，如果存在整数<math>
i\in[1, N)
</math>，使得<math>
\sigma_{i}>\epsilon
</math>，则系统中出现了模糊因果涌现，其模糊程度为<math>
\epsilon
</math>。而因果涌现的程度为：
<blockquote>
<blockquote>
<math>\begin{aligned}
<math>\begin{aligned}
</math>
</math>
这些定义与任何粗粒化方法无关，它代表了马尔可夫动力学的内在客观属性。因此，清晰和模糊因果涌现的程度都可以客观地量化。当<math>
这些定义与任何粗粒化方法无关，它代表了马尔可夫动力学的内在客观属性。因此，清晰和模糊因果涌现的程度都可以客观地量化。当<math>\epsilon=0</math>时，清晰因果涌现是模糊因果涌现的特例，特别是当奇异值可以分析求解时，它具有理论价值。此外，对因果涌现发生的判断与<math>\alpha</math>无关，因为它只与秩有关。因此，清晰因果涌现的概念仅由P决定，是无参数的。在实际应用中，必须给出阈值<math>\epsilon</math>，因为奇异值可能无限趋近于0，但P是满秩的。可以根据奇异值频谱中的明显截止点来选择<math>\epsilon</math>。若<math>\epsilon</math>非常小（比如<math>\epsilon<{10}^{-10}</math>），我们也可以说因果涌现大致发生。对于任意<math>\epsilon\ge{0},\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)\in[0,N-1]</math>，只有当<math>\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)>0</math>时，才会出现因果涌现。
\epsilon=0
</math>时，清晰因果涌现是模糊因果涌现的特例，特别是当奇异值可以分析求解时，它具有理论价值。此外，对因果涌现发生的判断与<math>
\alpha
</math>无关，因为它只与秩有关。因此，清晰因果涌现的概念仅由P决定，是无参数的。在实际应用中，必须给出阈值<math>
\epsilon
</math>，因为奇异值可能无限趋近于0，但P是满秩的。可以根据奇异值频谱中的明显截止点来选择<math>
\epsilon
</math>。若<math>
\epsilon
</math>非常小（比如<math>
\epsilon<{10}^{-10}
</math>），我们也可以说因果涌现大致发生。对于任意<math>
\epsilon\ge{0},\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)\in[0,N-1]
</math>，只有当<math>\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)>0
</math>时，才会出现因果涌现。
这里我们不难看出，因果涌现现象的本质在于概率转移矩阵P下存在冗余的信息通路，这些通路是不可逆的，由对应于零或接近零奇异值的奇异向量表示。因果涌现的量化本质上，是通过测量当这些冗余信道被潜在的最佳粗粒度化策略去除时平均可逆性或信息传输效率的潜在最优结果来实现的。
这里我们不难看出，因果涌现现象的本质在于概率转移矩阵P下存在冗余的信息通路，这些通路是不可逆的，由对应于零或接近零奇异值的奇异向量表示。因果涌现的量化本质上，是通过测量当这些冗余信道被潜在的最佳粗粒度化策略去除时平均可逆性或信息传输效率的潜在最优结果来实现的。
==TPM矩阵的粗粒化方法==
虽然无需粗粒化也能定义和量化清晰或模糊因果涌现，但在一些场合，我们仍然需要对原始系统进行更简单的粗粒化描述，以便与通过最大化EI得出的结果进行比较。因此，该理论提供了一种基于奇异值分解的粗粒化方法，以获得宏观层面的简化TPM。其基本思想是将P中的行向量 <math>P_{i},\forall i \in [1,N]</math>投影到<math>P\cdot P^{T}</math>的几个较大特征值对应的特征向量所张成的子空间上，从而保留P的主要信息，并保持<math>\Gamma</math>不变。
该方法的基本思路是将P中的所有行向量<math>P_{i}</math>视为维数为N的数据向量，然后首先对这些行向量进行PCA降维，其次将其聚类为r个簇，其中r是根据奇异值频谱的阈值<math>\epsilon</math>选取的。有了这个聚类方案，我们就可以根据平稳概率分布所对应的流矩阵保持流量守恒的原则，对原始TPM进行进一步的粗粒化。
'''1)''' 对P进行SVD分解（假设P是不可归约的，且具有周期性，从而存在平稳分布）：
<blockquote>
<math>P=U\cdot \Sigma \cdot V^{T},</math>
</blockquote>
其中，<math>U</math>和<math>V</math>是两个尺寸为N×N的正交归一化矩阵，<math>\Sigma = diag(\sigma_{1},\sigma_{2},...,\sigma_{N})</math> 是一个对角矩阵，包含所有有序奇异值。
'''2)'''选择一个<math>\epsilon</math>作为阈值来切断奇异值谱，并得到<math>r_{\epsilon}</math>作为保留状态的个数；
'''3)'''通过计算<math>\tilde{P}\equiv P\cdot V_{N\times r_{\epsilon}}</math>对P中的所有<math>P_{i}</math>进行降维，其中<math>V_{N\times r_{\epsilon}}</math>由<math>P\cdot P^{T}</math>的前<math>r_{\epsilon}</math>特征向量构成；
'''4)''' 通过 K-means 算法将<math>\tilde{P}</math>中的所有行向量聚类为r组，得到投影矩阵<math>\Phi</math>，其定义为:
<blockquote>
<math>
\Phi_{ij} =\begin{cases}
1, & \text{如果}\tilde{P_{i}}\text{属于第r组}\\
0, & \text{其他情况}
\end{cases}</math>
</blockquote>
对<math>\forall i,j \in [1,N]</math>都成立。
'''5)''' 利用<math>\Phi</math>和P得到新的TPM。
为了说明如何获得简化的TPM，首先定义一个矩阵，称为平稳流矩阵，如下所示：
<blockquote>
<math>F_{ij} \equiv \mu_i \cdot P_{ij}, \, \forall i,j \in [1, N],
</math>
</blockquote>
其中，<math>\mu</math>是P的稳态分布，满足<math>P\cdot\mu=\mu</math>。
其次，我们将根据 <math>\Phi</math>和<math>F</math>推导出简化平稳流矩阵：
<blockquote>
<math>F' = \Phi^T \cdot F \cdot \Phi,
</math>
</blockquote>
其中，F'是粗粒化后的平稳流矩阵。最后，粗粒化后的TPM可直接通过以下公式得出：
<blockquote>
<math>P'_i = F'_i / \sum_{j=1}^{N} (F'_i)_j, \, \forall i \in [1, N].
</math>
</blockquote>
将N个[math]P'_i[/math]拼在一起就能得到最终的TPM。
可以证明，这样的粗粒化方案可以保证让粗粒化操作和时间演化操作具有可交换的性质（参见<ref name=""/>。
==与基于最大化有效信息的因果涌现的近似关系==
==与基于最大化有效信息的因果涌现的近似关系==