更改

接下来的这个例子来源于一个经典的骰子游戏——Yahtzee游戏。在游戏中共有5个六面均匀的骰子，游戏参与者至多有三次投掷骰子的机会，一次可以同时投掷5颗骰子。为了简化，我们在此处假设游戏的目标是使得所有骰子的结果相同（称为获得Yahtzee）。同时，游戏中有一个规则是如果游戏者在前两次的投掷后，出现了重复的数字，则可以仅针对剩下的与重复数字不同的骰子再进行一次投掷。

接下来的这个例子来源于一个经典的骰子游戏——Yahtzee游戏。在游戏中共有5个六面均匀的骰子，游戏参与者至多有三次投掷骰子的机会，一次可以同时投掷5颗骰子。为了简化，我们在此处假设游戏的目标是使得所有骰子的结果相同（称为获得Yahtzee）。同时，游戏中有一个规则是如果游戏者在前两次的投掷后，出现了重复的数字，则可以仅针对剩下的与重复数字不同的骰子再进行一次投掷。

例如，第一次投掷结果为11234，由于有两个1，所以你可以保持对应的两个骰子不动，接下来，你只需要重新投掷234对应的三个骰子就可以。<ref name=":6">http://www.stat.yale.edu/~pollard/Courses/251.spring2013/Handouts/Chang-MarkovChains.pdf</ref>

例如，第一次投掷结果为11234，由于有两个1，所以你可以保持对应的两个骰子不动，接下来，你只需要重新投掷234对应的三个骰子就可以。<ref name=":9">http://www.stat.yale.edu/~pollard/Courses/251.spring2013/Handouts/Chang-MarkovChains.pdf</ref>

在这个随机过程中，我们可以用变量[math]X_t[/math]来建模如下变量：第[math]t[/math]次投掷中，结果相同的骰子数量，这样，该游戏的状态空间为[math]S=\{0,1,\cdots,5\}[/math]。在第t+1步中，系统的状态[math]X_{t+1}[/math]显然只依赖于t步的状态集合[math]X_t[/math]，而与更早的状态无关，因此这也是一个马尔可夫过程。

在这个随机过程中，我们可以用变量[math]X_t[/math]来建模如下变量：第[math]t[/math]次投掷中，结果相同的骰子数量，这样，该游戏的状态空间为[math]S=\{0,1,\cdots,5\}[/math]。在第t+1步中，系统的状态[math]X_{t+1}[/math]显然只依赖于t步的状态集合[math]X_t[/math]，而与更早的状态无关，因此这也是一个马尔可夫过程。

=====马尔科夫链的SVD粗粒化=====

=====马尔科夫链的SVD粗粒化=====

从转移矩阵谱的角度出发，张江团队提出了基于奇异值分解（SVD）的粗粒化方法<ref name=":7">Zhang J, Tao R Y, Leong H K, Yang M Z, Yuan B. Dynamical reversibility and a new theory of causal emergence based on SVD. npj Complexity, 2025, 2(3): 1-11.</ref>。

从转移矩阵谱的角度出发，张江团队提出了基于奇异值分解（SVD）的粗粒化方法<ref name=":10">Zhang J, Tao R Y, Leong H K, Yang M Z, Yuan B. Dynamical reversibility and a new theory of causal emergence based on SVD. npj Complexity, 2025, 2(3): 1-11.</ref>。

基于上述信道容量的概念，Erik Hoel<ref name=":8">Hoel E P, Albantakis L, Tononi G. Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro. Proceedings of the National Academy of Sciences, 2013, 110(49): 19790-19795.</ref>提出了离散马尔科夫动力学的有效信息度量

基于上述信道容量的概念，Erik Hoel<ref name=":11">Hoel E P, Albantakis L, Tononi G. Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro. Proceedings of the National Academy of Sciences, 2013, 110(49): 19790-19795.</ref>提出了离散马尔科夫动力学的有效信息度量

<math>C=\max_{U_X}I(X;Y)=\max_{U_X} H(Y)-H(Y|X),</math>

<math>C=\max_{U_X}I(X;Y)=\max_{U_X} H(Y)-H(Y|X),</math>

<math>\Gamma_\alpha=\sum_{i=1}^N\sigma_i^\alpha</math>

<math>\Gamma_\alpha=\sum_{i=1}^N\sigma_i^\alpha</math>

作为动力学可逆性的近似<ref name=":7">Zhang J, Tao R Y, Leong H K, Yang M Z, Yuan B. Dynamical reversibility and a new theory of causal emergence based on SVD. npj Complexity, 2025, 2(3): 1-11.</ref>。在应用中，常采用<math>\Gamma_{\alpha=1}</math>即转移概率矩阵的核范数来度量接近动力学可逆的程度。

作为动力学可逆性的近似<ref name=":10">Zhang J, Tao R Y, Leong H K, Yang M Z, Yuan B. Dynamical reversibility and a new theory of causal emergence based on SVD. npj Complexity, 2025, 2(3): 1-11.</ref>。在应用中，常采用<math>\Gamma_{\alpha=1}</math>即转移概率矩阵的核范数来度量接近动力学可逆的程度。

<math>Q'_{kl}=\sum_{j\in B_l}Q^{ij},i\in B_k</math>

<math>Q'_{kl}=\sum_{j\in B_l}Q^{ij},i\in B_k</math>

强成块性确保了区块内状态的不可区分性，粗粒化过程严格保持瞬态与稳态分布<ref name=":10">Luca Cardelli and Radu Grosu and Kim G. Larsen and Mirco Tribastone and Max Tschaikowski and Andrea Vandin. Lumpability for Uncertain Continuous-Time Markov Chains. QEST, 2021, 391-409.</ref>。

强成块性确保了区块内状态的不可区分性，粗粒化过程严格保持瞬态与稳态分布<ref name=":12">Luca Cardelli and Radu Grosu and Kim G. Larsen and Mirco Tribastone and Max Tschaikowski and Andrea Vandin. Lumpability for Uncertain Continuous-Time Markov Chains. QEST, 2021, 391-409.</ref>。

====时间尺度分解====

====时间尺度分解====

<math>Q'_{kl}=\frac{\sum_{i\in B_k}\sum_{j\in B_l}\pi_i^{B_k}Q_{ij}}{\sum_{I\in B_k}\pi_i^{B_k}}</math>

<math>Q'_{kl}=\frac{\sum_{i\in B_k}\sum_{j\in B_l}\pi_i^{B_k}Q_{ij}}{\sum_{I\in B_k}\pi_i^{B_k}}</math>

其中<math>\pi_i^{B_k}</math>为区块<math>B_k</math>内状态的准稳态分布，该方法在生物化学网络和通信协议中广泛应用<ref name=":11">Daria Stepanova, Helen M. Byrne, Philip K. Maini, and Tomás Alarcón. A Method to Coarse-Grain Multiagent Stochastic Systems with Regions of Multistability. Multiscale Model. Simul. 2022, 20(1):404-432.</ref>。

其中<math>\pi_i^{B_k}</math>为区块<math>B_k</math>内状态的准稳态分布，该方法在生物化学网络和通信协议中广泛应用<ref name=":13">Daria Stepanova, Helen M. Byrne, Philip K. Maini, and Tomás Alarcón. A Method to Coarse-Grain Multiagent Stochastic Systems with Regions of Multistability. Multiscale Model. Simul. 2022, 20(1):404-432.</ref>。

==参考文献==

==参考文献==

<references />

<references />