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文章<ref name="reversibility"/>提供了一种基于奇异值分解的粗粒化方法，以获得宏观层面的简化TPM。其基本思想是将P中的行向量 <math>P_{i},\forall i \in [1,N]</math>投影到<math>P</math>的几个较大奇异值对应的奇异向量所张成的子空间上，从而保留P的主要信息，并保持<math>\Gamma</math>不变。

文章<ref name="reversibility"/>提供了一种基于奇异值分解的粗粒化方法，以获得宏观层面的简化TPM。其基本思想是将P中的行向量 <math>P_{i},\forall i \in [1,N]</math>投影到<math>P</math>的几个较大奇异值对应的奇异向量所张成的子空间上，从而保留P的主要信息，并保持<math>\Gamma</math>不变。

在[[基于有效信息的因果涌现理论|Erik Hoel因果涌现理论]]的框架内，给定马尔可夫动力学系统的因果涌现的大小依赖于粗粒化策略的选择，可以通过宏观动力学的EI最大化寻找最优的粗粒化策略。

我们可以证明，要想获得最大化有效信息的粗粒化策略也近似等价于是向最大奇异值对应的奇异向量方向投影的策略。严格推导可见[[基于有效信息的因果涌现理论]]。由于对于离散的马尔可夫链来说，粗粒化策略往往都是比较严格的0或1构成的向量，因此并不能简单地根据奇异向量来直接投影。但是，如果粗粒化策略尽可能地与最大的几个奇异向量平行，那么就可以让粗粒化后动力学的EI尽可能更大，因此最大化EI的必要条件近似可以认为就是往最大奇异值对应的奇异向量空间做投影。在实际应用中，粗粒化策略 <math>\phi</math> 的约束（例如，宏观动力学TPM的分组和归一化）会阻止 <math>\phi_j</math> 与奇异向量完美对齐。因此，基于SVD的粗粒化策略只是最大化EI的近似必要条件。

 

由于对于离散的马尔可夫链来说，粗粒化策略往往都是比较严格的0或1构成的向量，因此并不能简单地根据奇异向量来直接投影。但是，如果粗粒化策略尽可能地与最大的几个奇异向量平行，那么就可以让粗粒化后动力学的EI尽可能更大，因此最大化EI的必要条件近似可以认为就是往最大奇异值对应的奇异向量空间做投影。严格推导可见[[基于有效信息的因果涌现理论]]。在实际应用中，粗粒化策略 <math>\phi</math> 的约束（例如，宏观动力学TPM的分组和归一化）会阻止 <math>\phi_j</math> 与奇异向量完美对齐。因此，基于SVD的粗粒化策略只是最大化EI的近似必要条件。

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