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第782行： − 需说明的是，当我们让一个马尔科夫链的实例，从一个初始状态出发，经过了 <math>t</math> 步的演化（根据TPM的随机选择）之后，它仍然一个确定的状态，而不是一个分布。就像一个粒子在系统里流动，在 <math>t</math> 步以后，它仍然是一个处于某个节点的粒子，而不是分裂成了n个散落在各个节点上的部分。+ − + − 另一个视角是，我们可以把这个系统复制若干份（无限多个），让这些并行的系统的初始状态服从分布 <math>\mu</math>，并各自演化（根据TPM的随机选择）<math>t</math> 步后，我们再去统计这一大群系统中处于每个状态的比例，就是 <math>t</math> 时刻的【状态分布】了。+ − 现在，再看一下稳态分布的定义：马尔科夫链系统的状态分布为 <math>\pi</math>，使得 <math>\pi P = \pi</math>。+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
→稳态分布下的随机动力学划分
在介绍随机动力学之前，我们需要从另一个视角来讨论马尔科夫链的【状态分布】。
在介绍随机动力学之前，我们需要从另一个视角来讨论马尔科夫链的【状态分布】。
我们让一个马尔科夫链的实例，从一个初始状态出发，经过了 <math>t</math> 步的演化（根据TPM的随机选择）之后，它仍然一个确定的状态，而不是一个分布。就像一个粒子在系统里流动，在 <math>t</math> 步以后，它仍然是一个处于某个节点的粒子，而不是分裂成了n个散落在各个节点上的部分。
所以，马尔科夫链在 <math>t</math> 时刻的【状态分布】是指，当我们给定一个初始状态分布 <math>\mu</math> 时，'''推断/估计''' 这个系统在t时刻处在各个状态的概率是多少。
所以，马尔科夫链在 <math>t</math> 时刻的 '''状态分布''' 是指，当我们给定一个初始状态分布 <math>\mu</math> 时，'''推断/估计''' 这个系统在 <math>t</math> 时刻处在各个状态的概率是多少。
另一个视角是，我们可以复制无限多份并行的系统，让这些系统的初始状态服从分布 <math>\mu</math>，并各自演化（根据TPM的随机选择）<math>t</math> 步后，我们再去统计这一大群系统中处于每个状态的比例，就是 <math>t</math> 时刻的 '''状态分布''' 了。
现在，再看一下 '''稳态分布''' 的定义：马尔科夫链的状态分布为 <math>\pi</math>，使得 <math>\pi P = \pi</math>。
也就是说，在 <math>t=0</math> 时刻，并行的若干个系统的状态服从分布 <math>\pi</math>；在各自演化 <math>t=1</math> 步后，虽然这些系统的状态发生了变化，但统计到的状态仍然服从分布 <math>\pi</math>。
也就是说，在 <math>t=0</math> 时刻，并行的若干个系统的状态服从分布 <math>\pi</math>；在各自演化 <math>t=1</math> 步后，虽然这些系统的状态发生了变化，但统计到的状态仍然服从分布 <math>\pi</math>。
这样，我们就能利用 '''随机动力学（Random Dynamical System）'''中的 '''不变性（Invariance）''' 要求来对马尔科夫链的稳态分布进行分析。
===随机动力学===
一个随机动力系统由两部分组成：一个驱动噪音的动力系统和一个受其驱动的状态空间演化。
'''噪音基础驱动系统（Base Driving System）'''<math>\Omega = \{ ... , \omega_{-1}, \omega_0, \omega_1, ... | \omega_i \in W \}</math> 是一个从随机分布采样的序列，每一次 <math>\omega_i</math> 随机选择都是独立同分布的。
该驱动系统的演化 <math>\theta</math> 是时间平移的， <math> \theta \omega_i = \omega_{i+1}</math>，即将整个噪音序列向左移动一步，把未来的噪音 <math>\omega_{i+1}</math> 作为新的当前噪音。
然后，我们需要'''演化余循环 （Evolution Cocycle）''' <math>\phi</math> 来连接噪音和状态空间。它定义了系统如何根据当前的噪音演化，是一个映射 <math>\phi: ℤ \text{（步数）} \times Ω \text{（噪声）} \times X \text{（状态空间）} \to X</math>，满足：
* 初始条件：<math>\phi(0, \omega, x) = x </math>
* 余循环性质 / Cocycle Property： <math>\phi(t+s, \omega, x) = \phi(t, \theta^s \omega, \phi(s, \omega, x)) </math>
对马尔科夫链来说，这个映射 <math>\phi(1, \omega, x)</math> 就是根据单步转移函数 <math>T: X \times W \to X</math>，即接收当前状态 <math>x</math> 和一个随机数 <math>w</math>，根据 TPM 的规则输出下一个状态。
至此，我们已经将马尔科夫链严格定义为了一个随机动力系统 <math>(\theta, \phi)</math>了。我们能够定义该系统的 不变性（Invariance），由此定义其 '''吸引性（Attraction）'''和 '''随机吸引子（Attractor）'''。
首先，我们定义随机集（Random Set）：一个随机集 A 是一个映射 A: Ω → 2^X，其中 2^X 是 X 的所有子集的集合。
一个随机集 A(ω) 被称为一个（全局）'''随机吸引子（Random Attractor）'''，如果它满足以下三个条件：
'''1. 紧致性 (Compactness)'''：对于几乎所有 ω ∈ Ω，A(ω) 都是 X 中的一个非空紧集。
* 在有限状态MC中，此条件自动满足，因为 X 的任何子集都是有限的，因而是紧的。
'''2. 不变性 (Invariance)'''：A 在动力学下保持自身结构。对于几乎所有 ω ∈ Ω，Φ(1, ω, A(ω)) = A(θω)。它包含两个方向：
* '''前向不变性 (Forward Invariance)''': Φ(1, ω, A(ω)) ⊆ A(θω)。 在 ω 噪音下，位于 A(ω) 的点，经过一步演化后，必然会落在 θω 噪音下的 A(θω) 内部。点无法从吸引子结构中“逃逸”。
* '''后向不变性 (Backward Invariance / Surjectivity)''': Φ(1, ω, A(ω)) ⊇ A(θω)。 在 θω 噪音下的吸引子 A(θω) 中的任何一个点，都必然是从 ω 噪音下的 A(ω) 中的某个点演化而来的。结构不会凭空产生点，它是“满的”。
'''3. 吸引性 (Pullback Attraction）'''： A 吸引系统中的其他点。
* 对 <math>X</math> 的任何一个固定的、非空的子集 B ⊂ X，我们有：lim_{k→∞} dist_H(Φ(k, θ⁻ᵏω, B), A(ω)) = 0。其中，dist_H 是豪斯多夫距离 (Hausdorff distance)，用于衡量两个集合的相似度。
* 这个公式的含义是，想象我们在遥远的过去（时间 -k）开始演化一个集合 B。噪音路径是 θ⁻ᵏω（即把当前噪音路径向过去回溯 k 步）。我们让它演化 k 步到达现在。当 k 趋于无穷大时，无论 B 最初是什么，它演化的结果都会在形状上收敛到我们当前的吸引子 A(ω)。
=划分方法=
=划分方法=