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===二分周期点===

===二分周期点===

观察图形，我们发现，随着<math>\mu</math>逐渐增大，系统迭代的周期会逐渐增多，从1个变2个，2个变4个，……。我们将这些周期分岔点所对应的<math>\mu</math>参数值记为<math>\mu_1,\mu_2,\cdot\cdot\cdot</math>。我们会发现，这些点之间的间距，即<math>\mu_{i+1}-\mu_{i}</math>会变得越来越小。那么，这些点是如何确定的呢？

观察图6，我们发现，随着<math>\mu</math>逐渐增大，系统迭代的周期会逐渐增多，从1个变2个，2个变4个，……。我们将这些周期分岔点所对应的<math>\mu</math>参数值记为<math>\mu_1,\mu_2,\cdot\cdot\cdot</math>。我们会发现，这些点之间的间距，即<math>\mu_{i+1}-\mu_{i}</math>会变得越来越小。那么，这些点是如何确定的呢？

事实上，迭代方程<math>x(t+1)=\mu x(t)(1-x(t))</math>决定了系统的一切行为。因此，它也必然决定了这些分岔点所对的位置。我们知道，如果迭代的极限点只有一个，那么，我们事实上可以通过求解下述方程得到这个极限点：

我们知道，迭代方程<math>x(t+1)=\mu x(t)(1-x(t))</math>决定了系统的一切行为。因此，它也必然决定了这些分岔点所对的位置。事实上，通过求解迭代方程的不动点，我们便能求出这些分岔点。

 

:<math>

:<math>

其中，我们定义<math>f(x)=\mu x (1-x)</math>。如果将<math>x_2=f(x_1)</math>代入第二个方程，那么上述方程组相当于求解：

其中，我们定义<math>f(x)\equiv\mu x (1-x)</math>。如果将<math>x_2=f(x_1)</math>代入第二个方程，那么上述方程组相当于求解：

:<math>

:<math>

其中第3个是和第4个是不动点。我们知道，如果<math>x*</math>是迭代方程的不动点，那么，<math>x*</math>一定也是迭代方程的2周期点、4周期点、任意的周期点。所以，后两个解并非我们要求的二周期点。而第1和第2个解才是真正的二分周期点。我们可以验证：

其中第3个是和第4个是Logistic映射（即x(t+1)=f(x(t))）的不动点。我们知道，如果<math>x^*</math>是迭代方程{{EquationRef|1}}的不动点，那么，<math>x^*</math>一定也是二次迭代映射（即[math]f^{(2)}）、四次迭代映射（即[math]f^{(4)}），……的不动点。所以，后两个解并非我们要求的二周期点。而第1和第2个解才是真正的二分周期点。我们可以代入下两个式子验证：

:<math>x_1^*=f(x_2^*),x_2^*=f(x_1^*)</math>。

:<math>x_1^*=f(x_2^*),x_2^*=f(x_1^*)</math>。

为了让这2个解有意义，<math>\mu</math>必须使得根号中的式子大于0，也就是<math>-3-2\mu+\mu^2>0</math>，于是可以推得：

为了让这2个解有意义，<math>\mu</math>必须使得根号中的式子大于0，也就是<math>-3-2\mu+\mu^2>0</math>，于是可以推得：

:<math>\mu</math>>3或者<math>\mu</math><-1

:<math>\mu>3</math>或者<math>\mu<-1</math>

因为<math>\mu</math>始终在范围[0,4]之内，因此，只要<math>\mu</math>>3就会存在二分周期点。并且，我们可以画出这两个解<math>x_1^*,x_2^*</math>随<math>\mu</math>而变的图形：

因为<math>\mu</math>始终在范围[0,4]之内，因此，只要<math>\mu>3</math>就会存在二分周期点。并且，我们可以画出这两个解<math>x_1^*,x_2^*</math>随<math>\mu</math>而变的图形：

[[File:X1x2.png|400px|thumb|图12]]

[[File:X1x2.png|630px|thumb|求得的二分周期点随[math]\mu[/math]变化的图]]

其中，下面蓝色曲线为<math>x_1^*</math>，上面的为<math>x_2^*</math>。与上一小节的系统极限行为随<math>\mu</math>变化图相比，该图显然夸大了二分周期点的存在范围。看来，我们不能仅仅根据满足迭代关系这一个条件来确定二分周期点发生的参数区间。

===二分周期点的稳定性===

===二分周期点的稳定性===