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第119行： − + − [[File:Logistic_map_animation.gif|700px|缩略图|right|Logistic迭代在不同参数取值，同样的初始条件下得到的动力学轨迹以及该轨迹信号的频谱图]] 第144行：
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→Logistic映射以及主要性质
=Logistic映射以及主要性质=
=Logistic映射以及主要性质=
Logistic映射，即方程({{EquationNote|1}})式定义了一个持续的动力学过程，即当我们从[math][0,1][/math]之中任意取一个数值作为[math]x(0)[/math]，我们只需要持续不断地利用方程({{EquationNote|1}})式，就可以计算出任意时刻[math]x(t)[/math]的取值，这便体现为一条有关[math]x(t)[/math]的动力学轨迹（如右侧的动图所示）。
Logistic映射，即方程({{EquationNote|1}})式定义了一个持续的动力学过程，即当我们从[math][0,1][/math]之中任意取一个数值作为[math]x(0)[/math]，我们只需要持续不断地利用方程({{EquationNote|1}})式，就可以计算出任意时刻[math]x(t)[/math]的取值，这便体现为一条有关[math]x(t)[/math]的动力学轨迹。
除此之外，当我们变换参数[math]\lambda[/math]的时候，这条动力学轨迹会展现出完全不同的形态。
除此之外，当我们变换参数[math]\lambda[/math]的时候，这条动力学轨迹会展现出完全不同的形态。
[[File:Mu01.png|700px|thumb|right|图1 当[math]\mu=0.2[/math]和[math]\mu=0.9[/math]时的迭代轨迹]]
[[File:Mu01.png|700px|thumb|center|图1 当[math]\mu=0.2[/math]和[math]\mu=0.9[/math]时的迭代轨迹]]
*当<math>\mu</math>在1到2之间，种群数量会很快接近<math>\frac{\mu-1}{\mu}</math>,不论最初种群为何值
*当<math>\mu</math>在1到2之间，种群数量会很快接近<math>\frac{\mu-1}{\mu}</math>,不论最初种群为何值
[[File:Mu02.png|630px|thumb|right|图2 <math>μ=1.2</math>和<math>μ=2.7</math>时的迭代轨迹]]
[[File:Mu02.png|630px|thumb|center|图2 <math>μ=1.2</math>和<math>μ=2.7</math>时的迭代轨迹]]
===<math>3<μ<3.56994</math>===
===<math>3<μ<3.56994</math>===
[[File:Mu03.png|630px|thumb|right|图3 [math]\mu=3.2[/math]以及[math]\mu=3.5[/math]时的动态轨迹]]
[[File:Mu03.png|630px|thumb|center|图3 [math]\mu=3.2[/math]以及[math]\mu=3.5[/math]时的动态轨迹]]
*当<math>μ</math>在3到<math>1+\sqrt{6}\approx 3.44949</math>时，在所有的初始条件下，人口数会持续在两个依赖<math>\mu</math>的值之间近似永久振荡。
*当<math>μ</math>在3到<math>1+\sqrt{6}\approx 3.44949</math>时，在所有的初始条件下，人口数会持续在两个依赖<math>\mu</math>的值之间近似永久振荡。
===<math>μ=3.56995</math>===
===<math>μ=3.56995</math>===
[[File:Mu05.png|630px|thumb|right|图4 [math]\mu=3.56995[/math]时的动态轨迹]]
[[File:Mu05.png|630px|thumb|center|图4 [math]\mu=3.56995[/math]时的动态轨迹]]
[[File:Mu06.png|630px|thumb|left|图5 对于[math]\mu=3.56995[/math]时的一次较长的模拟结果]]
[[File:Mu06.png|630px|thumb|center|图5 对于[math]\mu=3.56995[/math]时的一次较长的模拟结果]]
图5中所示为一次模拟试验运行了20000个周期，<math>x(t)</math>在这不同时刻的值在[0,1]区间上的累计概率分布图。图形中的平台部分表示取值概率基本为0。也就是说<math>x(t)</math>的取值基本集中在0.3~0.6和0.8~0.9这两个区间里。而往右上按照直线倾斜的部分表示<math>x(t)</math>在该区间近似呈现均匀分布。由此可见，这个时候迭代系统表现出随机性，然而整个迭代方程都是确定性的，因此认为产生了确定性的混沌现象。
图5中所示为一次模拟试验运行了20000个周期，<math>x(t)</math>在这不同时刻的值在[0,1]区间上的累计概率分布图。图形中的平台部分表示取值概率基本为0。也就是说<math>x(t)</math>的取值基本集中在0.3~0.6和0.8~0.9这两个区间里。而往右上按照直线倾斜的部分表示<math>x(t)</math>在该区间近似呈现均匀分布。由此可见，这个时候迭代系统表现出随机性，然而整个迭代方程都是确定性的，因此认为产生了确定性的混沌现象。
当<math>\mu</math>持续增大的时候，迭代运行的轨道就会在周期类型和混沌类型之间来回切换。直到<math>\mu=4</math>，系统处于完全混沌的状态，最终的长期行为会在[0,1]区间上取得均匀分布。
当<math>\mu</math>持续增大的时候，迭代运行的轨道就会在周期类型和混沌类型之间来回切换。直到<math>\mu=4</math>，系统处于完全混沌的状态，最终的长期行为会在[0,1]区间上取得均匀分布。
可以以动图的方式，绘制出不同参数情况下，Logistic映射的迭代轨迹所展现的样子：
[[File:Logistic_map_animation.gif|700px|缩略图|center|Logistic迭代在不同参数取值，同样的初始条件下得到的动力学轨迹以及该轨迹信号的频谱图]]
===不同参数<math>\mu</math>下的极限行为===
===不同参数<math>\mu</math>下的极限行为===
<!--[[File:300px-Final.png|630px|right|图7 不同参数情况下的Logistic映射的极限行为]]-->
<!--[[File:300px-Final.png|630px|right|图7 不同参数情况下的Logistic映射的极限行为]]-->
[[文件:Logistic Bifurcation map High Resolution.png|700px|缩略图|left|图6 Logistic映射在不同[math]\mu[/math]取值情况下的极限行为与分叉图（图中的r即[math]\mu[/math]，图片来源：[https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map wikipedia的Logistic map词条]）]]
[[文件:Logistic Bifurcation map High Resolution.png|700px|缩略图|center|图6 Logistic映射在不同[math]\mu[/math]取值情况下的极限行为与分叉图（图中的r即[math]\mu[/math]，图片来源：[https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map wikipedia的Logistic map词条]）]]
图6中显示的每一个参数<math>\mu</math>所对应的迭代的极限行为。在相同的参数下，我们通过从不同的初始值（共有1000个）开始迭代足够多的次数（T=2000次），记录下这些数据点对应的<math>x(T)</math>值。为了让显示效果更好看，我们对处于相同区域的数据点进行了归并，从而可以用某一点灰度的大小来表示该区域数据点的多少。最后的[[Mathematica]]代码如下所示：
图6中显示的每一个参数<math>\mu</math>所对应的迭代的极限行为。在相同的参数下，我们通过从不同的初始值（共有1000个）开始迭代足够多的次数（T=2000次），记录下这些数据点对应的<math>x(T)</math>值。为了让显示效果更好看，我们对处于相同区域的数据点进行了归并，从而可以用某一点灰度的大小来表示该区域数据点的多少。最后的[[Mathematica]]代码如下所示：