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第573行：
第573行： − 具有抛物极大值和费根鲍姆常数（包括<math>\delta</math>=4.669201...,<math>\alpha</math>=2.502907...）<ref>[http://chaosbook.org/extras/mjf/LA-6816-PR.pdf Feigenbaum, M. J. (1976) "Universality in complex discrete dynamics", Los Alamos Theoretical Division Annual Report 1975-1976]</ref> <ref>{{cite journal|last=Feigenbaum|first=Mitchell|date=1978|title=Quantitative universality for a class of nonlinear transformations|journal=Journal of Statistical Physics|volume=19|issue=1|pages=25-52|bibcode=1978JSP....19...25F|citeseerx=10.1.1.418.9339|doi=10.1007/BF01020332}}</ref> 的一维映射在Logistic映射作为离散激光动力学的模型时容易察觉其具有的普遍性质。<math> x \rightarrow G x (1 - \tanh (x))</math>，x为电场振幅，<math>G</math><ref name="Okulov, A Yu 1986">{{cite journal|last1=Okulov|first1=A Yu|last2=Oraevskiĭ|first2=A N|year=1986|title=Space–temporal behavior of a light pulse propagating in a nonlinear nondispersive medium|journal=J. Opt. Soc. Am. B|volume=3|issue=5|pages=741–746|bibcode=1986OSAJB...3..741O|doi=10.1364/JOSAB.3.000741}}</ref>为激光增益分岔参数。+ − − − 当<math>G</math>在区间<math>[0，\infty) </math>中逐渐增大时，其动力学由规则型变为混沌型，<ref name="Okulov, A Yu 1984">{{cite journal|last1=Okulov|first1=A Yu|last2=Oraevskiĭ|first2=A N|year=1984|title=Regular and stochastic self-modulation in a ring laser with nonlinear element|journal=Soviet Journal of Quantum Electronics|volume=14|issue=2|pages=1235–1237|bibcode=1984QuEle..14.1235O|doi=10.1070/QE1984v014n09ABEH006171}}</ref> 其分岔图在某些性质上与Logistic映射相同。 − − − 第587行：
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→普适性
===普适性===
===普适性===
更有趣的是，费根鲍姆常数<math>\delta</math>不仅仅对于Logistic映射方程成立，它对一类映射方程：<math>x(t+1)=f(x(t))</math>都成立，并且取同样的值。其中<math>f(x)=a g(x)</math>，<math>a</math>为常数，<math>g(x)</math>为[0,1]区间上的类[[Logistic函数]]。例如，对于迭代方程：
更有趣的是，费根鲍姆常数<math>\delta</math>不仅仅对于Logistic映射方程成立，它对一类映射方程：<math>x(t+1)=f(x(t))</math>都成立，并且取同样的值。其中<math>f(x)=a g(x)</math>，<math>a</math>为常数，<math>g(x)</math>为[0,1]区间上的Logistic函数。例如，对于迭代方程：
:<math>f(x)=a-x^2=a(1-\frac{x^2}{a}).</math>
:<math>f(x)=a-x^2=a(1-\frac{x^2}{a}).</math>
:{| class="wikitable"
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! ''n''
! ''n'' ! 周期! 分岔参数 (''a<sub>n</sub>'')! 比例 <math>\dfrac{a_{n-1}-a_{n-2}}{a_n-a_{n-1}} </math>
! 周期
! 分岔参数 (''a<sub>n</sub>'')
! 比例 <math>\dfrac{a_{n-1}-a_{n-2}}{a_n-a_{n-1}} </math>
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| 1
| 1 || 2|| 0.75|| N/A
|| 2
|| 0.75
|| N/A
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| 2
| 2 || 4|| 1.25|| N/A
|| 4
|| 1.25
|| N/A
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|-
| 3
| 3 || 8|| 1.3680989|| 4.2337
|| 8
|| 1.3680989
|| 4.2337
|-
|-
| 4
| 4 || 16|| 1.3940462|| 4.5515
|| 16
|| 1.3940462
|| 4.5515
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| 5
| 5 || 32|| 1.3996312|| 4.6458
|| 32
|| 1.3996312
|| 4.6458
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| 6
| 6 || 64|| 1.4008287|| 4.6639
|| 64
|| 1.4008287
|| 4.6639
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| 7
| 7 || 128|| 1.4010853|| 4.6682
|| 128
|| 1.4010853
|| 4.6682
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| 8
| 8 || 256|| 1.4011402|| 4.6689
|| 256
|| 1.4011402
|| 4.6689
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! ''n''
! ''n'' ! 周期! 分岔参数 (''a<sub>n</sub>'')! 比例 <math>\dfrac{a_{n-1}-a_{n-2}}{a_n-a_{n-1}} </math>
! 周期
! 分岔参数 (''a<sub>n</sub>'')
! 比例 <math>\dfrac{a_{n-1}-a_{n-2}}{a_n-a_{n-1}} </math>
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| 1
| 1 || 2|| 2.121|| N/A
|| 2
|| 2.121
|| N/A
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| 2
| 2 || 4|| 2.263|| N/A
|| 4
|| 2.263
|| N/A
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|-
| 3
| 3 || 8|| 2.294|| 4.665
|| 8
|| 2.294
|| 4.665
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|-
| 4
| 4 || 16|| 2.300|| 4.668
|| 16
|| 2.300
|| 4.668
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|-
| 5
| 5 || 32|| 2.301|| 4.669
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|| 2.301
|| 4.669
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| 6
| 6 || 64|| 2.302|| 4.669
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甚至于不一定是二次函数，只要映射函数的形状与Logistic映射类似，那么该映射也会展现出类似Logistic的特性。例如具有类似抛物形状的极大值 <ref>{{cite journal|last=Feigenbaum|first=Mitchell|date=1978|title=Quantitative universality for a class of nonlinear transformations|journal=Journal of Statistical Physics|volume=19|issue=1|pages=25-52|bibcode=1978JSP....19...25F|citeseerx=10.1.1.418.9339|doi=10.1007/BF01020332}}</ref> 的一维映射<math>f(x)</math>：
:<math>
f(x):= G x (1 - \tanh (x))
</math>
该映射可作为离散激光的动力学模型，其中，<math>x</math>可以代表电场振幅，<math>G</math>为为激光增益分岔参数。
容易观察到，该映射其具有与Logistic映射类似的性质，当<math>G</math>在区间<math>[0，\infty) </math>中逐渐增大时，其动力学由规则型变为混沌型，<ref name="Okulov, A Yu 1984">{{cite journal|last1=Okulov|first1=A Yu|last2=Oraevskiĭ|first2=A N|year=1984|title=Regular and stochastic self-modulation in a ring laser with nonlinear element|journal=Soviet Journal of Quantum Electronics|volume=14|issue=2|pages=1235–1237|bibcode=1984QuEle..14.1235O|doi=10.1070/QE1984v014n09ABEH006171}}</ref> 其分岔图在某些性质上与Logistic映射相同。
除此之外，该映射也有相同的费根鲍姆常数（包括<math>\delta</math>=4.669201...,<math>\alpha</math>=2.502907...）<ref>[http://chaosbook.org/extras/mjf/LA-6816-PR.pdf Feigenbaum, M. J. (1976) "Universality in complex discrete dynamics", Los Alamos Theoretical Division Annual Report 1975-1976]</ref>。<ref name="Okulov, A Yu 1986">{{cite journal|last1=Okulov|first1=A Yu|last2=Oraevskiĭ|first2=A N|year=1986|title=Space–temporal behavior of a light pulse propagating in a nonlinear nondispersive medium|journal=J. Opt. Soc. Am. B|volume=3|issue=5|pages=741–746|bibcode=1986OSAJB...3..741O|doi=10.1364/JOSAB.3.000741}}</ref>。
由此，可见费根鲍姆常数具有很强的普适性。
由此，可见费根鲍姆常数具有很强的普适性。