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→重整化群方程与费根鲍姆常数
==重整化群方程与费根鲍姆常数==
==重整化群方程与费根鲍姆常数==
通过图10可以观察到，Logistic迭代的倍分岔图产生了自相似的现象，即从2<sup>p</sup>周期到2<sup>p+1</sup>周期的小山峰彼此相似。这种自相似性可以用费根鲍姆常数<math>\delta</math>和<math>\alpha</math>刻画。人们可以通过[[重整化]]方法得到这两个常数的精确解。而且，人们发现对于不同方程的迭代，会得到同样的费根鲍姆常数。通常，在一般的统计物理系统中，[[重整化方法]]可以根据系统所具备的[[自相似性]]，写出[[重整化方程]]，从而给出[[相变点]]的精确位置以及[[临界指数]]。这种方法在[[渗流模型]]，[[ISING模型]]中得到了成功的应用。因为在Logistic迭代中也存在着自相似现象，因此，也可以利用重整化的思路求解[[费根鲍姆常数]]。
===时间上的尺度变换===
===时间上的尺度变换===
时间 t 相当于空间，该映射可以得到一系列不同时刻的点<math>x(1)</math>，<math>x(2)</math>，……。假如进行放大尺度，忽略掉一些信息，即不是以1为间隔进行采样，而是以2为间隔进行，就会得到：<math>x(1)</math>，<math>x(3)</math>，<math>x(5)</math>，……。因此这个粗粒化的序列相当于按照如下方程进行迭代而成：
时间 t 相当于空间，该映射可以得到一系列不同时刻的点<math>x(1)</math>，<math>x(2)</math>，……。假如我们放大尺度，忽略掉一些信息，即不是以1为间隔进行采样，而是以2为间隔进行，就会得到：<math>x(1)</math>，<math>x(3)</math>，<math>x(5)</math>，……,这构成了一个新的序列，我们不妨记为<math>\tilde{x}(t)</math>。因此这个粗粒化的序列相当于按照如下方程进行迭代而成：
:<math>
:<math>
x'(t+1)=f(f(x'(t))=f^{(2)}(x'(t))
\tilde{x}(t+1)=f(f(\tilde{x}(t))=f^{(2)}(\tilde{x}(t))
</math>
</math>
所以，对Logistic迭代进行2倍的压缩，实际上就是在对迭代进行两步归并，从而将迭代的法则<math>f(x)</math>变换成<math>f^{(2)}(x)</math>。而迭代法则<math>f(x)</math>实际上制约了动力系统的全部性质。所以，当人们说系统在不同的分岔点具有自相似性质的时候，实际上就是在考察迭代法则<math>f(x)</math>在尺度变换下，即<math>f(x)\rightarrow f^{(2)}(x)</math>是否具有某种不变的特性。如果迭代法则<math>f(x)</math>具有了尺度变化下的不变性，那么根据前面的讨论，它的一切性质（包括分岔的长度和高度等）就会具有自相似性。因此，迭代法则<math>f(x)</math>就像[[ISING模型]]中的[[配分函数]]，起到了主导的作用。
可以将不同时间尺度下的<math>f(x)</math>图像画出来进行直观地比较，透彻分析迭代法则<math>f(x)</math>在尺度变换下的自相似性质。首先，画出<math>f(x)</math>当<math>\mu=\hat{\mu^{(1)}}=2</math>的时候，<math>f^{(2)}(x)</math>在<math>\mu=\hat{\mu^{(2)}}=1+\sqrt{5}</math>的时候的函数图像（其中<math>\hat{\mu^{(p)}}</math>为满足相应第p重迭代函数的超稳定周期条件:<math>\frac{\partial{f^{(p)}(\hat{\mu^{(p)}},x)}}{\partial x}|_{x=x^*}=0</math>下对应的参数值）。函数图如下：
可以将不同时间尺度下的<math>f(x)</math>图像画出来进行直观地比较，透彻分析迭代法则<math>f(x)</math>在尺度变换下的自相似性质。首先，画出<math>f(x)</math>当<math>\mu=\hat{\mu^{(1)}}=2</math>的时候，<math>f^{(2)}(x)</math>在<math>\mu=\hat{\mu^{(2)}}=1+\sqrt{5}</math>的时候的函数图像（其中<math>\hat{\mu^{(p)}}</math>为满足相应第p重迭代函数的超稳定周期条件:<math>\frac{\partial{f^{(p)}(\hat{\mu^{(p)}},x)}}{\partial x}|_{x=x^*}=0</math>下对应的参数值）。函数图如下：
[[File:Selfsim1.png|500px|thumb|center|图14 <math>f(x)</math>与<math>f^{(2)}(x)</math>]]
[[File:Selfsim1.png|700px|thumb|center|图11 <math>f(x)</math>与<math>f^{(2)}(x)</math>]]
可以在这种“超稳定”的参数下观察函数的自相似性，如图10所示，不同小山峰之间彼此相似，而每个倍分周期的超稳定参数点刚好位于小山峰的“中心”位置，所以，该点附近的迭代法则的相似性就直接对应了不同小山峰之间的相似性。在上图中，右图中的绿色区域刚好和左图全体相似，就好像把左图上下颠倒、左右颠倒，再缩小一定比例<math>\alpha</math>（一个固定的常数，后面可以求出），就得到了右图。
同理再看<math>f^{(2)}(x)</math>与<math>f^{(4)}(x)</math>之间的相似性，如图15中两张图所示。
同理再看<math>f^{(2)}(x)</math>与<math>f^{(4)}(x)</math>之间的相似性，如图15中两张图所示。
[[File:Selfsim2.png|500px|thumb|center|图15 <math>f^{(2)}(x)</math>与<math>f^{(4)}(x)</math>]]
[[File:Selfsim2.png|700px|thumb|center|图12 <math>f^{(2)}(x)</math>与<math>f^{(4)}(x)</math>]]
对于<math>f^{(2)}(x)</math>与<math>f^{(4)}(x)</math>，可以画出当<math>\mu</math>在相应的超稳定周期参数的时候的函数图像。右上图中的蓝色和红色区域刚好与左上图中的蓝色和红色区域相似。它们也是上下颠倒，再进行缩放变换、左右颠倒。如果选择右上图中的蓝、红色区域进行放大得到右下图，同样将左上方图的染色区域放大得到左下图。另外，如果将坐标系原点移到了中心位置（即<math>f(x)=\mu x(1-x)</math>最大值所对应的位置(0.5,0.5)）。
对于<math>f^{(2)}(x)</math>与<math>f^{(4)}(x)</math>，可以画出当<math>\mu</math>在相应的超稳定周期参数的时候的函数图像。右上图中的蓝色和红色区域刚好与左上图中的蓝色和红色区域相似。它们也是上下颠倒，再进行缩放变换、左右颠倒。如果选择右上图中的蓝、红色区域进行放大得到右下图，同样将左上方图的染色区域放大得到左下图。另外，如果将坐标系原点移到了中心位置（即<math>f(x)=\mu x(1-x)</math>最大值所对应的位置(0.5,0.5)）。
===图形变换与相似性===
===图形变换与相似性===
我们可以把这种图形变化用数学来表示。为了让图12中右下子图和左下子图彼此相似，我们需要对右下子图进行水平、竖直翻转、缩放（以(0.5,0.5)为轴）才能与左下图重合。也就是：
:<math>
:<math>